Altri strumenti per tracciare rette

Il meccanismo di Watt, che per la sua estrema semplicità è usato ancora oggi, risolve in pratica il problema di tracciare una retta, o quanto meno una curva così vicina a una retta da essere praticamente indistinguibile nelle applicazioni. Dopo Watt, sono stati trovati altri strumenti, per la verità più complicati, che tracciano delle rette approssimate, alcuni dei quali si possono vedere e manovrare.

Resta però aperto il problema teorico: è possibile costruire uno strumento che disegni una retta vera, e non solo approssimata? Una prima risposta positiva è data dal meccanismo di Sarrus, nel quale i punti della lastra superiore si muovono tutti lungo rette verticali. Si tratta però di una macchina che non è né pratica (il meccanismo di Watt è molto più semplice e affidabile) né soddisfacente dal punto di vista teorico, dato che opera nello spazio tridimensionale e non sul piano. Da un punto di vista tecnico, questo significa che occupa molto spazio.

La soluzione esatta del problema è costituita da un meccanismo inventato nel 1864 da A. Peaucellier, e basato sulle proprietà di una particolare trasformazione matematica: l'inversione rispetto a una circonferenza. Il meccanismo è costituito da una serie di aste incernierate in modo tale che, comunque le si sposti, il prodotto delle distanze dei punti P e Q da O sia sempre lo stesso. Usando un linguaggio più tecnico, i punti P e Q si corrispondono mediante l'inversione rispetto a un cerchio di centro O.

Una delle proprietà dell'inversione è che quando il punto P descrive una circonferenza, il suo corrispondente Q descrive anch'esso una circonferenza. Fa eccezione un solo caso, che è quello che fa per noi: quando la circonferenza descritta da P passa per il centro O, il punto Q corrispondente non descrive più una circonferenza, ma una retta. Si capisce allora il ruolo dell'asta PR, con l'estremo R fissato al tavolo. Essa non ha niente a che fare con l'inversione, ma assicura che il punto P, che ora può solo ruotare attorno a R, descriva una circonferenza. Prendendo PR uguale a RO, questa circonferenza passerà per il centro O, e dunque il punto Q corrispondente descriverà una retta, o più precisamente un segmento.