ENRICO BETTI (1823-1892)

Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni, Annali di matematica pura e applicata, (II) 4 (1871), p. 140-158.

Uno degli avvenimenti più importanti del viaggio che insieme a Brioschi e Casorati compì nel 1858 in Francia e in Germania fu per Betti l'incontro con Bernhard Riemann (1826-1866). Quasi coetanei, i due strinsero subito una salda amicizia, che doveva rinnovarsi in occasione dei sempre più frequenti viaggi che il matematico tedesco, malato di tubercolosi, faceva in Italia per profittare del clima mite della penisola. Già nel 1863 c'era stato un primo incontro tra i due, quando Riemann si fermò a Pisa sulla via del ritorno in Germania dopo aver trascorso l'inverno a Palermo, e in quella occasione Betti offrì all'amico la cattedra vacante per la morte di Mossotti. Ragioni di salute impediscono a Riemann di accettare, le stesse che l'ottobre successivo lo inducono a un soggiorno a Pisa che si protrarrà fino al luglio 1865.

Le conversazioni con Riemann durante questo periodo saranno per Betti fonte di ispirazione, e contribuiranno non poco a gettare le basi scientifiche di quella che diventerà la scuola pisana. Uno degli argomenti trattati in queste conversazioni fu certamente quello della connessione delle varietà pluridimensionali, stando a quanto lo stesso Betti scriveva a Tardy nell'ottobre 1863:

Ho nuovamente parlato con Riemann della connessione degli spazi, e me ne sono fatta un'idea esatta. La nozione delle sezioni è venuta in mente a Riemann per una definizione che gliene ha dato Gauss in un colloquio familiare, parlando di un altro soggetto.

Pochi giorni dopo, in una seconda lettera all'amico, Betti tratteggiava tutta l'architettura della memoria che pubblicherà a quasi dieci anni di distanza. L'idea fondamentale sta nell'osservazione che ci sono delle superfici, come ad esempio la sfera, in cui ogni curva chiusa è bordo di una porzione di superficie; in altre, ad esempio nel toro (la superficie di una ciambella), ciò non accade, e ci sono curve chiuse che non sono bordi di nessuna porzione di superficie. Il numero di curve chiuse indipendenti per cui ciò accade, viene indicato da Betti con p1. Analogamente nelle varietà a più dimensioni ci si può chiedere se esistano sottovarietà chiuse di dimensione k che non siano bordi di varietà di dimensione k+1. Il loro numero viene indicato con p_k.

I numeri p_k+1, che rivestono un particolare significato nella topologia delle varietà riemanniane, vennero chiamati numeri di Betti da Henri Poincaré (1854-1912) nella celebre memoria Analysis situs.

Bibliografia: H. Poincaré, Analysis situs, Journ. École Pol., (II) 1 (1895), p. 1-121; J. Pont, La topologie algébrique des origines à Poincaré, Paris, PUF, 1974.

Enrico Giusti

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