GIULIO ASCOLI (1843-1896)

Le curve limite di una varietà data di curve, Atti della R. accademia dei Lincei. Memorie della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, (III) 18 (1884), p. 521-586.


La memoria di Ascoli si inserisce nel filone di studi sul calcolo delle variazioni, che aveva tratto origini dal principio di Dirichlet enunciato da Riemann e utilizzato dallo studioso tedesco per dimostrare l'esistenza di funzioni armoniche. Grazie alla sua semplicità e al fatto di poter essere utilizzato praticamente senza restrizioni, il principio di Dirichlet aveva trovato eco immediata nella teoria delle equazioni alle derivate parziali e delle funzioni di una variabile complessa, e nel calcolo delle variazioni, specie nell'ambito pisano dove l'influenza di Riemann era particolarmente forte.

Le critiche rivolte al principio, in particolare da Weierstrass che aveva dato un esempio in cui esso veniva meno, se da una parte avevano reso più circospetti i matematici nei confronti di un suo uso indiscriminato, dall'altra avevano occasionato una serie di studi per chiarire i limiti e le condizioni della sua applicabilità.

In queste ricerche si situa la memoria di Ascoli, che si era laureato alla Scuola Normale di Pisa nel 1868, quando era ancora vivo il ricordo del soggiorno pisano di Riemann. Lo studio di Ascoli è rivolto alle proprietà topologiche di insiemi di funzioni, in particolare di quella che oggi si chiama compattezza. Dopo una parte iniziale volta a precisare il concetto di curva, Ascoli dimostra che da ogni insieme di funzioni equicontinue ed equilimitate si può estrarre una successione convergente uniformemente a un limite anch'esso equicontinuo. Più tardi (1895) Cesare Arzelà mostrò che una famiglia di funzioni i cui rapporti incrementali sono equilimitati è costituita da funzioni equicontinue, dando così un semplice criterio di equicontinuità, per poi arrivare nel 1899 al teorema inverso nella memoria Sulle serie di funzioni. Questo teorema sarà conosciuto con il nome di teorema di Ascoli-Arzelà.

Bibliografia: G. Ricci, La scuola matematica pisana dal 1848 al 1948, Riv. Mat. Univ. di Parma, 2 (1951) p. 155-174; S. Cinquini, Giulio Ascoli, Cesare Arzelà e le funzioni ugualmente continue, Rend. Ist. Lombardo, Parte generale, 104 (1970), p. 3-12; G. Letta, P. L. Papini e L. Pepe, Cesare Arzelà e l'analisi reale in Italia, in Cesare Arzelà, Opere, Vol. I, Roma, Cremonese, 1992, pp. XIII - XXXVII.
Enrico Giusti
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