VITO VOLTERRA (1860-1940)

Sulle funzioni analitiche polidrome, Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti, (IV) 4 (1888), p. 355-361.



A soli ventotto anni, Volterra diede un'ulteriore prova del suo genio matematico dimostrando un importante teorema -poi detto teorema di Poincaré-Volterra - il quale asserisce che l'insieme dei valori di una funzione analitica in un punto del suo dominio d'esistenza è al più numerabile.

Agli inizi del 1888, il celebre matematico tedesco Georg Cantor, fondatore della moderna teoria degli insiemi, aveva proposto di tentare la dimostrazione di questo asserto e ne aveva parlato col matematico italiano Giulio Vivanti. Questi ne diede una dimostrazione (pubblicata sui Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo nel luglio dello stesso anno).
Essa si basava sul ricorso alla teoria delle funzioni analitiche secondo il punto di vista geometrico di Riemann.

Volterra lesse la dimostrazione di Vivanti e la trovò errata in più punti. Scrisse in merito a Cantor, attribuendo le carenze del lavoro di Vivanti all'uso della teoria di Riemann, sostenendo che sarebbe stato preferibile adottare l'approccio analitico della teoria secondo Weierstrass. Cantor rispose a Volterra incoraggiandolo a seguire questa seconda via e sostenne che l'uso del metodo geometrico consistente nel costruire una superficie di
Riemann per la funzione analitica in oggetto, doveva essere considerato sospetto, almeno finché non si sia dimostrata la possibilità di questa costruzione in tutti i casi (si veda la lettera riprodotta a fianco).

Seguì un intenso scambio di lettere fra Volterra e Vivanti, al termine del quale quest'ultimo ammise il proprio errore. Nel frattempo, Volterra si era messo all'opera per ottenere una dimostrazione rigorosa del teorema. L'idea era di assumere come punto di partenza un teorema di Poincaré del 1883 secondo cui, data una funzione y(x) analitica non uniforme, è possibile trovare una variabile z di cui x e y sono funzioni uniformi; di ridimostrare questo teorema senza far ricorso alla teoria di Riemann, bensì facendo uso dell'approccio di Weierstrass; e di qui ottenere il teorema generale.

Il teorema di Poincaré-Volterra fu rapidamente dimostrato da Volterra, assieme ad una serie di altri complessi teoremi sulle funzioni analitiche multivoche, di cui esso diveniva un semplice corollario; e fu pubblicato nel novembre del 1888.

Bibliografia: J. Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900, Paris, Hermann, 1978, vol. I; G. Israel e L. Nurzia, The Poincaré-Volterra Theorem: A Significant Event in the History of the Theory of Analytic Functions, Hist. Math., 11 (1984), p. 161-192.
Giorgio Israel
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