LEONIDA TONELLI (1885-1946)

Sul caso regolare nel calcolo delle variazioni, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 35 (1913), p. 49-73.


Leonida Tonelli si laureò all'Università di Bologna, dove discusse con Cesare Arzelà una tesi sui polinomi di Cebycev. Dopo pochi anni fu nominato professore di Analisi, che insegnò a Cagliari, Parma, Bologna e infine a Pisa, dove resterà dal 1930 al 1946, con una breve parentesi romana dal 1939 al 1942. Firmatario del manifesto Croce, mantenne sempre di fronte al fascismo un atteggiamento distaccato, che gli causò alcuni fastidi. Nel 1943, dopo la caduta del regime e la costituzione della Repubblica sociale, prese la direzione della Scuola Normale, che resse con prudenza in momenti difficili. Dopo la liberazione ricoprì varie cariche pubbliche, tra le quali per un breve periodo quella di vicesindaco di Pisa. Benché abbia operato in vari campi dell'analisi, il suo nome è legato soprattutto ai metodi diretti nel calcolo delle variazioni.

Il calcolo delle variazioni aveva accompagnato fin dall'inizio il calcolo infinitesimale, con i classici problemi della catenaria (la curva descritta da una catena appresa agli estremi), della brachistocrona (la curva di tempo di caduta minimo) e degli isoperimetri. La riduzione, ad opera di Eulero, dei problemi di minimo alle equazioni differenziali, aveva posto le basi per la soluzione di molti problemi variazionali.

Un punto di vista radicalmente differente era stato avanzato da Riemann, che volendo trovare una soluzione generale dell'equazione di Cauchy-Riemann, la riconduce alla ricerca del minimo di un opportuno integrale. Per l'esistenza di quest'ultimo, Riemann invocava il cosiddetto principio di Dirichlet: il minimo esiste perché l'integrale è positivo e varia in maniera continua. L'uso acritico del principio di Dirichlet venne immediatamente sottoposto a critiche, e Weierstrass diede l'esempio di un integrale positivo che non ha minimo. Da questo risultato negativo ebbero origine una serie di ricerche, tendenti a trovare delle condizioni opportune di validità del principio di Dirichlet, che permettessero dunque di dimostrare l'esistenza di minimi senza far ricorso alla soluzione di equazioni differenziali, che specie nel caso di più variabili si annunciava piuttosto problematica.

I primi tentativi furono rivolti verso un'estensione al caso in esame del teorema di Weierstrass: una funzione continua in un insieme chiuso e limitato ha massimo e minimo. A parte alcuni casi particolari, che richiedevano ragionamenti ad hoc, questi approcci si scontravano con il fatto che i funzionali in esame ben raramente erano continui, o meglio lo erano solo sotto condizioni di convergenza estremamente restrittive. In questo articolo Tonelli avviava a soluzione il problema con un'osservazione apparentemente banale: se la continuità garantisce l'esistenza del massimo e del minimo, per la sola esistenza di quest'ultimo l'ipotesi di continuità è sovrabbondante, ed è sufficiente la sola semicontinuità inferiore. Tonelli dimostra che questa ipotesi è molto meno impegnativa della continuità, ed è verificata nella maggior parte dei casi significativi.

Hanno così inizio i cosiddetti metodi diretti nel calcolo delle variazioni; una tecnica dimostrativa che ha aperto nuovi importanti campi di ricerca, ed è tuttora uno degli strumenti più importanti per gli studi nel campo.

Bibliografia: S. Cinquini, Della vita e delle opere di Leonida Tonelli, in L. Tonelli. Opere Scelte, Roma, Cremonese, 1960, vol. I, p.1-35; Leonida Tonelli, in memoriam, a cura di F. Cecioni, Pisa, Tornar, 1952; L. Pepe, Leonida Tonelli e il Calcolo delle Variazioni, in La matematica italiana tra le due guerre mondiali, Bologna, Pitagora, 1987, p. 307-317.
Enrico Giusti


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