LEONIDA TONELLI (1885-1946)

Fondamenti di calcolo delle variazioni. - Bologna, Zanichelli, 1921-23. - 2 v.; 24 cm.
Volume I: VII, 466, [2] p.
Volume II: VIII, 660, [2] p.


Le ricerche di Tonelli sul calcolo delle variazioni trovano la loro sistemazione in questi classici volumi, dove l'autore espone sistematicamente nei dettagli i metodi diretti e le loro applicazioni. Il contributo principale di Tonelli consiste in primo luogo nell'individuare nella semicontinuità dei funzionali la chiave per la dimostrazione nel caso generale del principio di Dirichlet, che Riemann aveva introdotto nello studio dell'equazione di Laplace e che era stato dimostrato rigorosamente solo in alcuni casi particolari, e mediante ragionamenti ad hoc.

Queste ricerche, in particolare quelle di Volterra sulle funzioni di linea e quelle di Ascoli e di Hilbert sul principio di Dirichlet, confluiscono nell'opera di Tonelli, che ne costituisce la sintesi e il coronamento. Tonelli introduce una classe molto vasta di funzionali in forma integrale, che chiama quasi-regolari, dipendenti da una funzione di una variabile e dalle sue derivate, e ne dimostra la semicontinuità inferiore rispetto alla convergenza uniforme. Per questo, egli si serve da una parte della teoria dell'integrazione di Lebesgue, contribuendo così alla sua affermazione definitiva, e dall'altra degli studi di Vitali e di Jordan sulle funzioni assolutamente continue e su quelle a variazione limitata.

L'opera è divisa in due volumi. Nel primo, dopo aver introdotto le nozioni di base, tra cui la teoria dell'integrazione di Lebesgue sviluppata mediante le funzioni quasi-continue, vengono studiati gli integrali quasi-regolari, e vengono dimostrate condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la semicontinuità inferiore. Il secondo volume, apparso due anni dopo, è dedicato alle applicazioni della teoria svolta precedentemente, e in particolare ai problemi isoperimetrici.

Tranne qualche sporadico cenno, tutta la teoria riguarda il caso unidimensionale, cioè integrali che dipendono da funzioni di una sola variabile. In effetti gli spazi funzionali utilizzati da Tonelli, che si limitano essenzialmente alle funzioni a variazione limitata, e la topologia della convergenza uniforme, non si prestano a generalizzazioni al caso di dimensione maggiore di uno, e gli sforzi dello stesso Tonelli e della sua scuola di estendere a più dimensioni i brillanti risultati dimostrati nel caso unidimensionale si riveleranno scarsamente fruttuosi. Bisognerà attendere gli sviluppi del calcolo funzionale, e l'introduzione da parte di S. L. Sobolev, di J. W. Calkin e di C. B. Morrey degli spazi funzionali che portano il nome di Sobolev, per avere gli strumenti adatti per l'estensione a più dimensioni delle idee di Tonelli. Le ricerche in tal senso, iniziate negli anni immediatamente precedenti la seconda guerra mondiale, hanno avuto grande sviluppo nel dopoguerra e sono tuttora un campo molto vitale dell'analisi matematica.

Bibliografia: S. Cinquini, Della vita e delle opere di Leonida Tonelli, in L. Tonelli. Opere Scelte, Roma, Cremonese, 1960, vol. I, p.1-35; Leonida Tonelli, in memoriam, a cura di F. Cecioni, Pisa, Tornar, 1952; L. Pepe, Leonida Tonelli e il Calcolo delle Variazioni, in La matematica italiana tra le due guerre mondiali, Bologna, Pitagora, 1987, p. 307-317.
Enrico Giusti
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