1. Rette e cerchi

Cosa si può fare con un pezzo di spago?

La visita comincia da un pennarello e un semplice pezzo di spago, con i quali siete invitati a disegnare una retta e una circonferenza.

Camminando per strada, a volte si possono vedere degli operai che per scavare un canale ne tracciano prima i contorni tirando uno spago tra due picchetti. Anche noi possiamo tirare una retta (notate il verbo tirare) tirando lo spago con due dita e cercando di seguirlo con il pennarello. Se invece vogliamo disegnare un cerchio, arrotoleremo lo spago attorno al pennarello, e lo faremo girare fissandone l'altra estremità al tavolo con un dito.

Il risultato nei due casi è molto diverso: mentre in genere gli archi di cerchio che riusciamo a disegnare (archi di cerchio; per disegnare tutto il cerchio ci vuole qualche accorgimento in più) vengono abbastanza bene, i segmenti di retta sono in genere una delusione.

La ragione di questo comportamento così differente sta nella diversa funzione dello spago: nel caso del cerchio è uno strumento, per la retta è un profilo. Con un profilo si disegna quello che c'è già: possiamo disegnare una retta perché lo spago tirato dalle dita si dispone lungo una linea retta. La bontà del risultato dipende in questo caso dalla precisione del profilo e dalla possibilità di seguirlo con il pennarello, ed è proprio quest'ultima operazione che è difficile nel nostro caso.

Al contrario, nel tracciare un cerchio lo spago non prende una forma circolare da seguire col pennarello, ma sfruttiamo una proprietà matematica della circonferenza, quella cioè di avere tutti i punti alla stessa distanza dal centro. Lo spago teso tra il pennarello e l'estremità fissata alla tavola garantisce appunto questa equidistanza.

Lo stesso avviene se invece di usare uno spago ci serviamo di oggetti più adeguati, come la riga e il compasso. La precisione migliora notevolmente, sia per l'una che per l'altro, ma la sostanza è sempre la stessa: la riga è un profilo, il compasso uno strumento. E anche se le rette disegnate con la riga sono molto migliori di quelle fatte con lo spago (ma anche i cerchi sono più rotondi), la precisione di uno strumento sarà sempre, a parità di complessità, migliore di quella di un profilo.

Come disegnare una retta, e perché

Ma a che serve disegnare una retta? Non conviene fare i disegni con un computer, senza utilizzare né righe né compassi? La domanda è pertinente, e tracciare rette sarebbe ormai inutile se si trattasse solo di disegni. Ma non è solo questo il problema.

Guardiamo una qualsiasi macchina, una bicicletta per esempio, o un frullatore. In essa, ci sono dei pezzi mobili, come il pedale o le ruote della bicicletta, o le alette del frullatore, che devono percorrere delle traiettorie prestabilite, ad esempio girare attorno a un punto. In questo caso non ci sono difficoltà: basta imperniare il pezzo sul centro della rotazione, in modo che non possa far altro che ruotarvi attorno. Ogni punto del pezzo descrive così una circonferenza, intorno a un perno che si comporta come il dito che fissava lo spago al tavolo.

Se invece la traiettoria della parte mobile non è circolare, le cose diventano più difficili. Cosa possiamo fare perché il pezzo si muova in linea retta, come ad esempio nel caso dell'asta che vediamo uscire dal tavolo, o l'asse del pistone nella foto appesa al muro? Potremmo certo fissare una riga, e costringere l'asta a strisciarvi addosso, o meglio a passare attraverso due anelli fissati al muro (e in questo caso sarebbe la stessa asta a fungere da profilo), ma il movimento genererebbe tanto attrito da rendere impossibile il funzionamento.

In questa situazione, forse più ancora che nel disegno, la differenza tra uno strumento e un profilo è capitale: se vogliamo che il meccanismo funzioni, non possiamo ricorrere a profili, che hanno sempre parti striscianti, ma dobbiamo generare il moto rettilineo con uno strumento. Quello che si vede è stato proposto da James Watt. È un semplicissimo quadrilatero articolato, fatto in modo che il punto di mezzo del lato più piccolo, e dunque l'asta che vi è fissata, si muova su e giù lungo una traiettoria rettilinea.

Ma è proprio una retta? Una versione da tavolo dello stesso meccanismo mostra il contrario: il punto di mezzo descrive una curva a forma di otto, con due parti quasi rettilinee, o almeno tanto diritte quanto basta per le applicazioni. Il meccanismo di Watt sfrutta queste parti della curva per mantenere l'asta sempre in posizione verticale.

Altri strumenti per tracciare rette

Il meccanismo di Watt, che per la sua estrema semplicità è usato ancora oggi, risolve in pratica il problema di tracciare una retta, o quanto meno una curva così vicina a una retta da essere praticamente indistinguibile nelle applicazioni. Dopo Watt, sono stati trovati altri strumenti, per la verità più complicati, che tracciano delle rette approssimate, alcuni dei quali si possono vedere e manovrare.

Resta però aperto il problema teorico: è possibile costruire uno strumento che disegni una retta vera, e non solo approssimata? Una prima risposta positiva è data dal meccanismo di Sarrus, nel quale i punti della lastra superiore si muovono tutti lungo rette verticali. Si tratta però di una macchina che non è né pratica (il meccanismo di Watt è molto più semplice e affidabile) né soddisfacente dal punto di vista teorico, dato che opera nello spazio tridimensionale e non sul piano. Da un punto di vista tecnico, questo significa che occupa molto spazio.

La soluzione esatta del problema è costituita da un meccanismo inventato nel 1864 da A. Peaucellier, e basato sulle proprietà di una particolare trasformazione matematica: l'inversione rispetto a una circonferenza. Il meccanismo è costituito da una serie di aste incernierate in modo tale che, comunque le si sposti, il prodotto delle distanze dei punti P e Q da O sia sempre lo stesso. Usando un linguaggio più tecnico, i punti P e Q si corrispondono mediante l'inversione rispetto a un cerchio di centro O.

Una delle proprietà dell'inversione è che quando il punto P descrive una circonferenza, il suo corrispondente Q descrive anch'esso una circonferenza. Fa eccezione un solo caso, che è quello che fa per noi: quando la circonferenza descritta da P passa per il centro O, il punto Q corrispondente non descrive più una circonferenza, ma una retta. Si capisce allora il ruolo dell'asta PR, con l'estremo R fissato al tavolo. Essa non ha niente a che fare con l'inversione, ma assicura che il punto P, che ora può solo ruotare attorno a R, descriva una circonferenza. Prendendo PR uguale a RO, questa circonferenza passerà per il centro O, e dunque il punto Q corrispondente descriverà una retta, o più precisamente un segmento.

Quadrilateri articolati

Fra i molti meccanismi di aste articolate che risolvono problemi di interesse pratico, il più semplice è il quadrilatero articolato, che proprio per la sua estrema semplicità e per la sua grande versatilità è alla base di molti semplici strumenti che ci troviamo ogni giorno sotto gli occhi, alcuni dei quali si possono vedere nel pannello, dalle bilance alle tende alla veneziana, ai tergicristalli, alle gru, ma anche a meccanismi più sofisticati come alcune protesi per amputati.

Quattro lati sono il minimo per avere un meccanismo mobile. Infatti un triangolo è una struttura rigida e non deformabile, che proprio per questa sua fissità è usato per la costruzione di strutture stabili, come tralicci, ponti, tetti. Al contrario, un quadrilatero conserva una certa libertà di movimento anche se se ne fissa un lato, una libertà che ne fa uno strumento molto efficace per disegnare curve, o se si vuole per far muovere un pezzo lungo una traiettoria prestabilita.

Normalmente uno dei lati del quadrilatero è fissato, ad esempio al tavolo, e resta immobile; così si può fare a meno di metterlo, e come nel meccanismo di Watt il quadrilatero si riduce a tre aste incernierate tra loro, di cui la prima e l'ultima sono fissate al tavolo per un estremo, attorno al quale possono solo ruotare. Nonostante l'estrema semplicità del meccanismo, i quadrilateri articolati sono molto versatili, e hanno numerose applicazioni. In particolare, essi sono molto utili per convertire un movimento oscillante in uno circolare e viceversa, come avviene ad esempio nella bicicletta, dove il movimento alternato delle gambe del ciclista genera il moto circolare dei pedali, o nella macchina da cucire, dove il moto oscillante del pedale fa girare la ruota della macchina.

Se poi si aggiungono al quadrilatero due altre aste, che formano un triangolo con quella centrale, è possibile tracciare moltissime curve, anche piuttosto irregolari, regolando opportunamente la lunghezza delle aste aggiunte. Nella macchina esposta, le aste aggiuntive sono sostituite con una lastra di plexiglass, i cui fori corrispondono al vertice del triangolo aggiunto. A seconda della posizione del foro, il meccanismo descrive curve anche notevolmente diverse.

Solo col compasso

Anche se di recente è stato quasi completamente soppiantato dal computer, il tavolo da disegno è stato per vari secoli uno dei principali strumenti di lavoro dell'architetto o del progettista. Sul tavolo da disegno, la differenza di precisione tra la riga e il compasso continua a essere sensibile, dato che né il meccanismo di Peaucellier né quelli ancora meno precisi di Watt e dei suoi successori potevano essere usati per disegnare.

Sorge così il problema di usare il meno possibile la riga, o addirittura di eliminarla completamente, e di eseguire i disegni col solo compasso. Naturalmente non parliamo dei disegni veri e propri, dato che nessun compasso potrà mai tracciare una retta, ma delle costruzioni preliminari al disegno, quando ad esempio si tratta di trovare due punti per i quali dovrà passare una retta da disegnare. In queste costruzioni, l'uso della riga comporta una precisione molto ridotta rispetto al compasso.

Alla fine del Settecento, il problema delle costruzioni senza riga viene risolto da Lorenzo Mascheroni, che dimostra che tutte le costruzioni eseguibili con riga e compasso si possono fare con il solo compasso. In particolare, Mascheroni applica il suo metodo alla divisione della circonferenza in parti uguali, un'operazione essenziale nella costruzione degli apparecchi astronomici.

Più tardi si è scoperto che Mascheroni era stato preceduto da un matematico danese del Seicento, Georg Mohr, la cui opera, non avendo all'epoca risvolti applicativi, era rimasta pressoché sconosciuta.

Al computer si possono vedere alcune tra le principali costruzioni geometriche, eseguite col solo compasso.