La geometria analitica

Neanche le sezioni coniche possono soddisfare tutte le necessità della scienza e della tecnica. È allora necessario andare al di là delle sezioni coniche, e considerare curve ancora più complesse.

Un modo molto efficace per rappresentare queste curve sul piano consiste nel servirsi della loro equazione.

Se si tracciano sul piano due rette perpendicolari, è possibile individuare ogni punto mediante le sue coordinate cartesiane, che rappresentano grosso modo le distanza del punto dai due assi. Esse sono chiamate così in onore di Réné Descartes (Cartesio), che per primo se ne è servito costantemente proprio per la descrizione delle curve.

Le due coordinate si indicano per lo più con x e y. A ogni valore della coppia (x,y) corrisponde un punto del piano. Quando x e y variano in tutti i modi possibili, il punto corrispondente descrive tutto il piano; se invece le coordinate sono soggette a un'equazione, il punto che esse rappresentano è vincolato a muoversi su una curva, di cui l'equazione costituisce la rappresentazione analitica.

Ad esempio, se si fissa la x, ad esempio mediante l'equazione x=1, la curva corrispondente è una retta verticale; mentre l'equazione y=3 rappresenta una retta orizzontale. Più in generale, un'equazione di primo grado (cioè un'equazione in cui le variabili x e y compaiono alla prima potenza) rappresenta una retta, mentre un'equazione di secondo grado dà luogo a una delle sezioni coniche (compresa la circonferenza).

Si possono studiare curve con equazione di terzo grado, o di quarto, o via via di grado sempre più alto. Per queste, troviamo nell'Encyclopedie di Diderot e D'Alembert una macchina universale che consente, aggiungendo ogni volta uno strato, di tracciare curve di grado sempre più alto. Quella che è stata realizzata ha tre livelli sovrapposti, e quindi traccia curve di terzo grado. Si tratta di una macchina piuttosto pesante, la cui complessità è dovuta soprattutto alla necessità di ridurre al minimo gli attriti che altrimenti ne impedirebbero il funzionamento.