Nuove tendenze

La geometria moderna ha proseguito e reso ancora più evidente questo processo, in ambedue le direzioni: maggiore generalità, maggiore complessità. In corrispondenza, le tecniche matematiche sono diventate sempre più astratte, al punto da rendere difficile, se non impossibile, una descrizione anche approssimata.

Non volendo rinunciare del tutto a dare un'idea degli sviluppi moderni della geometria delle curve, abbiamo scelto due esempi rappresentativi delle due tendenze: le geodetiche e i frattali.

Su una superficie piana, ad esempio in una piazza, il cammino più breve tra due punti è la linea retta. Se però ci muoviamo su una superficie curva, come può essere la superficie della terra, non è più possibile andare in linea retta, e al suo posto abbiamo una curva, detta geodetica, la cui lunghezza è la minima tra tutte le curve che uniscono i suoi estremi. Come all'inizio della nostra visita tiravamo una corda per avere una retta, potremo trovare le geodetiche di una superficie convessa tirando uno spago tra due punti. Nel caso della Terra, che è all'incirca una sfera, le geodetiche sono i cerchi massimi, quelli cioè che dividono la sfera in due parti uguali. Per andare da un punto a un altro conviene allora muoversi sul cerchio massimo che passa per i due punti. Questa è la ragione delle rotte polari nei viaggi aerei intercontinentali: sulle carte sembrano molto lunghe, perché sono riportate in piano, ma basta tendere un elastico su un mappamondo per vedere come in realtà la strada più breve tra Pisa e Los Angeles passa vicino al polo nord. Il secondo esempio riguarda lo stesso concetto di curva. Quelle che abbiamo visto finora corrispondono all'idea intuitiva di curva che tutti abbiamo; sono cioè degli oggetti a una dimensione, che si possono pensare ottenuti piegando un filo. Se hanno dei punti singolari, come nel caso del bordo di un poligono, questi sono in numero finito e isolati. Verso la fine dell'Ottocento, cominciano ad affacciarsi delle curve patologiche dalle proprietà sorprendenti. Una di queste è la curva di Peano, che riempie un quadrato e pone il problema del significato della dimensione; un'altra è la curva di Koch, che non ha tangente in nessun punto. Infine, in anni più recenti, sono emersi alcuni nuovi oggetti, i frattali, che hanno una dimensione frazionaria e la proprietà sorprendente che ogni loro parte, comunque piccola, è simile all'intero. Queste forme, la cui generazione è relativamente semplice, danno immagini di notevole bellezza; immagini con le quali concludiamo la nostra visita nel mondo delle curve.