Au-delà du compas la géométrie des courbes

Les origines de la géométrie sont évidemment inconnues, comme celles des nombres, de la parole, de la danse, etc. Un homme (ou une femme) préhistorique regardant la pleine lune avait sûrement une idée assez nette de ce qu'est un disque, et s'il regardait les étoiles ou les étoiles filantes, il devait aussi avoir une certaine idée de point, de figures géométriques, ou de droite, et même peut-être de droite infinie. Plus près de nous, les frises périodiques et les pavages réguliers que l'on trouve ça et là dans les ruines des temples de l'antiquité-; montret aussi des préoccupations géométriques. Enfin, on ne construit pas des villes aux avenues perpendiculaires, des temples aux colonnes équidistantes, sans avoir connaissance de ce qu'est un angle droit, ou un report de longueurs. Mais il faut attendre des formes d'écritures pour avoir des témoignages précis, soit à Babylone, soit en Égypte, sur l'existence de résultats géométriques.

L'exposition réalisée par Franco Conti (SNS Pise) et Enrico Giusti (université de Florece) se propose de nous faire parcourir à grands traits un chapitre passionant de la géométrie, depuis plus de trois mille ans: l'étude des courbes, à commencer par les plus simples d'entre elles: le cercle et la droite.

Pourquoi citer le cercle avant la droite direz-vous? La réponse est simple, et c'est par elle que commence l'exposition, avec cette remarque: il est plus facile de tracer un beau cercle qu'une belle droite. Les maçons d'heir, comme ceux d'aujourd'hui d'ailleurs, savaient tracer un cercle presque parfait en tendant une corde, mais il est beaucoup plus difficile de tracer une belle droite: un mauvais compas peut tracer de beaux cercles mais vous n'obtiendrez jamais une droite plus parfaite que le bord de votre règle! Le cercle n'est pas contenu dans le compas, la droite l'est dans la règle. On ne sera donc pas surpris d'apprendre que les géomètres aient trouvé intéressant d'étudier ce problème: comment tracer une droite sans support, sans bord de règle, par exemple à l'aide d'un mécanisme articulé.

Ce problème a aussi des incidences pratiques: les tours de potiers d'aujourd'hui sont très similaires dans leur principe à ceux d'il y a deux mille ans, mais cela ne fait que peu de temps que l'on dispose de machines permettant d'usiner des "droites" Cela date de la révolution industrielle, époque où l'on a précisément résolu le problème géométrique cité. (Dans un rabot, ou mieux encore une varlope, qui sont des outils assez anciens, on réalise des surface planes par approximations successives, en otant les aspérités peu à peu). On comprend de même pourquoi les géomètres s'étaient posé des problèmes de constructions géométriques à l'aide du compas seul: au moins en théorie, cela assure la précision maximale.

Après la droite et le cercle, les mathématiciens ont étudié de nombreuses autres courbes, pour en découvrir les propiétés, pour les classer, etc. Par exemple, la découverte, et l'utilisation, de systèmes de coordonnées par Descartes a permis de constaster que les coniques des Grecs étaient définies par des équations du second degré. Il était tentant alors de voir ce que pouvaient bien être les courbes définies par des équations de degré supérieur, de comprende comment leur équation pouvait déterminer leurs formes, bref d'aller au-delà des courbes dites "mécaniques", c'est-à-dire traçables par un mécanisme, en considérant des courbes algébriques, définies par leurs équations, puis les courbes transcendantes, ouvrant ainsi un immense champ de recherches.

De l'ellipse du jardinier à la spirale d'Archimède, de la cycloïde aux fractales, cette exposition pemet de parcourir des siècles d'histoire, d'inventions conceptuelles, d'applications pratiques. Saviez-vous que la spirale d'Archimède est une pièce importante dans une machine à coudre? ou que vous voyez tous les jours au petit déjeuner se dessiner dans votre bol une caustique (s'il y a du soleil)? ou qu'on peut obtenir une ellipse en pliant du papier? ou qu'on peut construire des courbes (voir le logo de l'exposition en tête de cet article), ou des surfaces courbes à l'aide de droites? savez-vous s'il existe d'autres courbes que le cercle à posséder un diamétre constans? ou bien d'autres choses encore?

Outre les faits et les résultats qui sont présentés dans cette exposotion, ce qui en fait un de ses attraits est qu'elle est très interactive: à l'aide d'une quarantaine d'expérience, vous pouvez actionner vous-même les systémes articulés et en comprendre le principe, ou observer les propriétés de la cycloïde, ou vérifier les propriétés les plus simples des coniques.

Que ces mots barbares ne vous effraient pas, même si vous êtes très jeunes, ou "allergiques aux maths". L'étude des coniques n'est pas au programme de 6^e, certes, mais un élève de 6^e peut voir, il peut expérimenter, découvrir. Il sera bien temps, s'il le souhaite, d'étudier la théorie plus tard, formellement, techniquement.

Pour l'heure, c'est un espace de découvertes qui lui est offert.

JEAN BRETTE
Département de Physique et de Mathématiques
du Palais de la découverte

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