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La teoria dei numeri reali

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|    un passo da Heine.    |    un passo da Cantor.    |    un passo da Dedekind.    |    un passo da Meray.    |

I reali di Cantor

Nell'articolo intitolato Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, ossia ``sull'estensione di un teorema della teoria delle serie trigonometriche'' apparso nel 1872 sui ``Mathematische Annalen'' Cantor, si trova a considerare insiemi infiniti di punti in relazione al problema della convergenza delle serie. Per poter operare rigorosamente premette allora una teoria aritmetica dei numeri reali su cui darà maggiori dettagli successivamente.
I numeri reali sono definiti utilizzando successioni di numeri razionali $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ sottoposte alla condizione che per ogni esottoposte alla condizione che per ogni $\varepsilon>0$ tutti i suoi termini tranne al più un numero finito differiscano l'uno dall'altro per meno di $\varepsilon$, ossia che esista un intero $n_1$ tale che per $n>n_1$ e per $m$ qualsiasi si abbia $\vert a_{m+n} -a_n \vert<\varepsilon$. Questa è la condizione oggi nota come ``di Cauchy'' e detta ``fondamentale'' da Cantor.
Egli afferma inizialmente che se una successione soddisfa tale condizione allora ``ha un limite determinato $a$'', o meglio, correggendo l'ambiguità di questa espressione, afferma in seguito che alla succesione è ``associato'' il numero a, ossia i numeri reali sono identificati con le successioni fondamentali. Due di tali successioni, an e bn, sono lo stesso numero reale se $\vert a_n - b_n\vert$ tende a zero. Se dato un qualsiasi numero razionale i membri della successione, per n abbastanza grande, sono tutti minori in valore assoluto di un qualsiasi numero dato allora $a=0$; se sono tutti maggiori di un certo razionale positivo allora $a>0$; se sono tutti minori di un certo razionale negativo allora $a<0$.
Le operazioni fondamentali vengono estese al nuovo sistema osservando che se $a= a_n$ e $b=b_n$ sono due successioni fondamentali anche $a_n+b_n$ e $a_n \cdot b_n$ lo sono e definiscono $a+b$ e $ab$.
Se $b_n$ è una successione fondamentale di numeri reali (razionali o irrazionali) allora esiste un unico numero reale a determinato da una successione di razionali $a_n$ tale che $b_n$ tende ad $a$; cioè la formazione di successioni fondamentali di numeri reali non crea la necessità di nuovi tipi di numeri. In altre parole i numeri reali costituiscono un sistema completo.

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I reali di Dedekind

Nel 1872 Dedekind dà alle stampe l'opuscolo Stetigkeit und irrationale Zahlen, ossia ``continuità e numeri irrazionali'' in cui presenta una definizione rigorosa dell'idea del continuo. Egli prende le mosse dallo studio dei numeri razionali e ne individua tre proprietà fondamentali:

1.

ordinamento: se $a>b$ e $b>c$ allora $a>c$

2.

densità: se $a\neq b$ allora esistono infiniti razionali compresi tra $a$ e $b$

3.

sezione: se $a$ è un razionale dato tutti i razionali si ripartiscono in due classi $A_1$ e $A_2$ contenenti ognuna infiniti elementi tali che nella prima stanno tutti i numeri minori di $a$ e nella seconda tutti i numeri maggiori di $a$, ed $a$ può stare nella prima o nella seconda classe.

Se si fissa un segmento unità di misura si può associare ad ogni razionale un punto su una retta e i punti sulla retta soddisfano analoghe proprietà di ordinamento, densità e sezione. È noto però che non si ha la corrispondenza inversa in quanto esistono sulla retta infiniti punti a cui non corrisponde alcun razionale. Se si vuole un sistema numerico che mantenga ``la qualità di essere completa, senza lacune, ossia continua'' propria della retta bisogna creare nuovi numeri poiché i razionali non bastano a descrivere aritmeticamente tutti i fenomeni sulla retta.
L'``essenza della continuità'' è riconosciuta da Dedekind nell'inverso della proprietà (3) che tutti i punti della retta verificano, e cioè nel fatto, noto come ``assioma di continuità'' o ``di Dedekind'', che se viene fatta una partizione della retta in due classi in cui ogni elemento di una classe sta a sinistra di ogni elemento dell'altra allora esiste uno e un solo punto dal quale questa partizione è prodotta. Abbandonando l'intuizione geometrica Dedekind trasferisce allora al sistema numerico questa proprietà definendo numero reale una sezione di numeri razionali, cioè una coppia $(A_1 , A_2)$ di sottoinsiemi non vuoti e disgiunti la cui unione sia l'insieme dei razionali e tali che per ogni elemento $a$ di $A_1$ e $b$ di $A_2$ risulti $a<b$. Le sezioni che non sono prodotte da nessun numero razionale ``creano'' un nuovo numero, un numero irrazionale. In questo modo ad ogni sezione corrisponde ora, in analogia con la retta, uno ed un solo numero determinato, razionale o irrazionale.
A partire dalle sezioni si verifica poi che i numeri così costruiti godono delle usuali proprietà definendo opportunamente l'ordinamento e le operazioni aritmetiche.

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Un passo dal Die Elemente der Functionenlehre di Heine.

* Pagina in mostra VIII.

Edward Heine
Die Elemente der Functionenlehre

Sui numeri
   1. Le serie numeriche
1. Definizione. Chiamo serie numerica una serie di numeri $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, ... se per ogni numero dato $\eta$ diverso da zero, sufficientemente piccolo, esiste un valore $n$ tale che $a_n -a_{n+\nu}$ per ogni intero positivo $\nu$ è minore di $\eta$.
Osservazione. La parola numero senza altre aggiunte significa sempre nel capitolo A numero razionale. Lo zero sarà qui considerato un numero razionale.
2. Definizione. Ogni serie numerica in cui i numeri $a_n$, con indice $n$ crescente, sono minori di una grandezza data, la chiamo serie elementare. [...]

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Un passo da Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen di Cantor

* Pagina in mostra VIII. 2

Georg Ferdinand Cantor
Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen

I numeri razionali formano la base per la definizione del successivo concetto di grandezza numerica; dirò che essi formano un dominio A (ed includo in essi lo zero). Quando parlo di grandezza numerica in senso esteso è il caso presentato da una successione infinita di numeri razionali

$$(1)\qquad\qquad a_1,\quad a_2, \quad ...,\quad a_n, \quad...$$

che hanno la proprietà che la differenza $a_{n+m} -a_n$ diventa infinitamente piccola al crescere di $n$, qualunque sia $m$ numero intero positivo, o in altre parole che per un $\varepsilon$ arbitrario (intero positivo) esiste un intero $n_o$ tale che $\vert a_{n+m} -a_n\vert<\varepsilon$, quando $n\geq n_o$ e $m$ è un numero intero arbitrario. Esprimo la proprietà della successione (1) dicendo che la successione (1) ha un limite definito $b$ [...].
Se c'è una seconda successione

$$(1')\qquad\qquad a'_1,\quad a'_2, \quad ...,\quad a'_n, \quad...$$

che ha un limite definito $b'$ , si trova che le due successioni (1) e (1') possono essere in relazione tra loro in uno dei seguenti tre modi, che sono mutuamente esclusivi: o (i) $a_n -a'_n$ diventa infinitamente piccola al crescere di $n$, o (ii) $a_n -a'_n$ da un certo $n$ in poi rimane sempre più grande di una quantità positiva (razionale) $\varepsilon$, o (iii) $a_n -a'_n$ da un certo $n$ in poi rimane più piccolo di una certa quantità negativa (razionale) $- \varepsilon$.
Se si verifica la prima condizione pongo $b=b'$ , se si verifica la seconda $b>b'$ , se si verifica la terza $b<b'$.

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Un passo da Stetigkeit und irrationale Zahlen di Dedekind.

* Pagina in mostra VIII.3

Richard Dedekind
Stetigkeit und irrationale Zahlen

IV. Le ultime parole illuminano chiaramente la via per la quale si può giungere a un campo continuo ampliando il campo discontinuo R dei numeri razionali Nel paragrafo I abbiamo rilevato che ogni numero razionale a determina una ripartizione del sistema R in due classi $A_1$, $A_2$ di tale natura che ogni numero $a_1$ della prima classe $A_1$ è minore di ogni numero $a_2$ della seconda classe; il numero $a$ stesso è o il numero massimo della prima classe o il numero minimo della seconda. Ora, noi chiameremo sezione e indicheremo col simbolo $(A_1 , A_2)$ ogni ripartizione del sistema R in due classi $A_1$, $A_2$ chee goda soltanto di questa proprietà caratteristica che ogni numero della classe $A_1$ sia minore di ogni numero della classe $A_2$.
Possiamo dire allora che ogni numero razionale a determina una sezione o piuttosto due sezioni, le quali però noi non considereremo come essenzialmente distinte. Questa sezione gode inoltre della proprietà ulteriore che o tra i numeri della prima classe esiste un numero massimo o tra i numeri della seconda classe esiste un minimo. E inversamente, se una sezione gode di quest'ultima proprietà allora essa è prodotta da questo numero razionale massimo o minimo.
Ma è facile provare l'esistenza di infinite sezioni non prodotte da nessun numero razionale. L'esempio più semplice è il seguente. [...]

(traduzione di Oscar Zariski)

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Un passo da Nouveau précis d'analyse infinitésimale di Meray.

* Pagina in mostra VIII.4 Charles Meray Nouveau précis d'analyse infinitésimale

1. Diremo variante un numero variabile (intero o frazionario, positivo o negativo), $v_{m,n,...}$ il cui valore dipende dai numeri interi m, n, ... che assumano tutte le combinazioni di valori possibili e che chiameremo suoi indici. [...]

2. Se esiste un numero $V$ tale che si possa prendere m, n, ... abbastanza grande affinché la differenza $V- v_{m,n,...}$ sia, in valore assoluto, inferiore a una quantità così piccola come si voglia, per certi valori degli indici e per tutti i valori più grandi, si dice che la variante $v_{m,n,...}$ tende o converge verso il limite $V$.
Quando $V=0$, la variante $v_{m,n,...}$ si dice una quantità infinitamente piccola; tale è ad esempio la differenza tra una variante e il suo limite. [...]

(segue la costruzione di Meray in cui le varianti giocano un ruolo analogo alle successioni di Cantor)

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Storia del calcolo...

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