Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

La diffusione del calcolo

11. Guillaume François Antoine de l'Hospital, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, seconde édition, Paris, chez Etienne Papillon, 1716 [prima edizione 1696].
12. Johann Bernoulli, Opera omnia, tomus primus, Lausannae et Genevae, ex typographia Marci Michaelis Bousquet, 1742.
13. Jacob Bernoulli, De curva celerrimi descensus, in Opera, tomus secundus, Genevae, sumptibus Haeredum Cramer & Fratrum Gilibert, 1744.
14. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, tomus primus, Lausannae, apud Marcum Michaelem Bousquet, 1748.

I metodi di Newton e di Leibniz seguono percorsi di sviluppo e diffusione distinti. Tra i principali seguaci e sostenitori di Newton, con la combinazione degli sviluppi in serie e del metodo delle flussioni, troviamo James Stirling, con la Methodus differentialis (1707), e Brook Taylor con la Methodus incrementorum directa et inversa (1715), ispirata apertamente alle concezioni di Newton del De quadratura, opera in cui compare lo sviluppo in serie che porta ancora oggi il suo nome.

Nel contempo la fondatezza del metodo delle flussioni viene fatta oggetto di dura e puntuale critica. Debolezze, misteri e incongruenze sono evidenziate nell'opuscolo intitolato The Analist o "discorso rivolto a un matematico infedele", pubblicato da George Berkeley nel 1734. In difesa del metodo di Newton, nel 1742 Colin MacLaurin (1698-1746) pubblica allora il Treatise of fluxions, dove tenta un'esposizione sistematica in termini rigorosamente geometrici della teoria delle flussioni evitando infiniti e infinitesimi primi e ultimi rapporti e basandosi sulla velocità istantanea.

La diffusione e l'influenza dell'opera di Leibniz fu molto più vasta di quella newtoniana, in parte forse per la scelta di una terminologia e di formalismi più felici, in parte senz'altro grazie alle capacità dei suoi seguaci, primi fra tutti i fratelli Jacob e Johann Bernoulli che si succedono alla cattedra di Matematica a Basilea. Essi sono i primi esponenti di una famiglia che porterà contributi significativi nel campo della matematica e della fisica nei decenni successivi. Il calcolo leibniziano viene usato con grande duttilità nello studio di problemi legati a curve ed equazioni differenziali come le proprietà della lemniscata, la determinazione dell'evoluta della spirale logaritmica, dell'equazione della brachistocrona e della tautocrona, della catenaria.

Nel 1691 Johann soggiorna a Parigi dove incontra tra gli altri il marchese Guillaume Françoise de l'Hospital (1661-1704) al quale dà lezioni sul nuovo calcolo. Dagli appunti manoscritti relativi ha origine il trattato Analyse des infiniments petits che l'Hospital pubblica a Parigi nel 1696. Questa prima esposizione sistematica del calcolo differenziale - che sarà completata cinquanta anni dopo con le Lectiones mathematicae de methodo integralium per la parte relativa al calcolo detto da Leibniz "summatorius" e "integralis" da Jacob in poi - ottiene un grande successo e diviene il testo su cui si formano generazioni di matematici.

Strettamente legato alla famiglia Bernoulli, in quanto studente a Basilea di Jacob e poi collaboratore e amico dei suoi figli Nicolaus e Daniel, fu il fecondissimo matematico Leonhard Euler (1707-1783), italianizzato in Eulero. Nel 1748 egli pubblica il trattato in due volumi Introductio in analysin infinitorum, seguito nel 1755 dalle Instituitiones calculi differentialis e nel 1768-1880 dalle Institutiones calculi integralis. L'Introductio si apre con la definizione di "functio", termine già usato da Leibniz e dai Bernoulli, che Eulero indentifica con un'espressione analitica. La definizione di funzione sarà oggetto di una vivace e lunga discussione legata anche allo studio di fenomeni fisico-matematici, come la corda vibrante, che coinvolge fra gli altri D'Alembert e giunge fino a Lagrange e Fourier.