Un museo per la matematica
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Il giardino di Archimede
Un museo per la matematica |
Il secolo che segue la scoperta del calcolo è caratterizzato in gran parte dalla esplorazione di fenomeni fisico-matematici tramite i nuovi strumenti differenziali. Riflessioni sui fondamenti appaiono solo occasionalmente come in Eulero, che afferma che per essere rigorosi bisogna dire che gli infinitesimi non sono altro che zeri veri e propri, o in d'Alembert che nell'Encyclopedie sostiene che la "vera metafisica" del calcolo risiede nei limiti.
Alla fine del secolo, nello stesso anno in cui vedono la luce le Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal di Lazare Carnot, viene pubblicato da Joseph Luis Lagrange (1736-1813) un volume che raccoglie le lezioni da lui tenute all'École Polytechnique, intitolato Théorie des fonctions analytiques (1797). Il programma, a cui Lagrange aveva già dedicato riflessioni e memorie nei decenni precedenti, è quello di costruire una teoria delle funzioni e fondare in maniera inequivocabile il calcolo infinitesimale liberandosi, secondo quanto indicato nel sottotitolo, da ogni considerazione di infinitesimi, di quantità evanescenti, di limiti e flussioni, e di ricondursi all'analisi algebrica di quantità finite. Questo viene fatto ponendo a fondamento della teoria lo sviluppo in serie di potenze e costruendo a partire da queste le funzioni "derivate", termine che viene qui introdotto.
Per quanto grande fosse l'autorità di Lagrange la sua impostazione non si impone presso i contemporanei. Nello stesso anno in cui vede la luce la Théorie viene pubblicato anche il primo dei tre volumi del Traité du calcul différentiel et du calcul intégral di Sylvestre Françoise Lacroix (1765-1843). Il trattato di Lacroix, vòlto meno ai fondamenti e più alle varie tecniche, si presenta come una vera e propria summa in cui alla visione lagrangiana si affianca sia il metodo leibniziano dei differenziali, sia quello dei limiti. Il successo dell'opera fu notevole, come del resto quella degli altri fortunatissimi manuali, sui quali si formarono generazioni di matematici, pensati da Lacroix per gli studenti di ogni livello dell'École Polytechnique e dell'École Normale. Alla prima edizione, completata nel 1800, si succedettero numerose riedizioni fino al 1881, nonché numerose traduzioni di cui una in italiano nel 1829.
Il problema di definire più rigorosamente i fondamenti dell'analisi diviene invece d'interesse primario nei manuali scritti da Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Il Cours d'analyse de l'École Polytechnique, il primo dei tre, viene pubblicato nel 1821 ed è spesso indicato come l'inizio dell'analisi moderna. Cauchy rovescia qui il punto di vista di Lagrange, eliminando argomenti "tratti dalla generalità dell'algebra". Secondo quella che era stata anche la visione di d'Alembert, il concetto di limite viene posto a base di tutte le costruzioni dell'analisi: per mezzo di esso Cauchy definisce la controversa nozione di infinitesimo e quella di infinito, la continuità di funzione e, nel successivo Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1823), la "derivata", conservando la terminologia lagrangiana, come limite del rapporto incrementale.
In una direzione simile a quella di Cauchy si muove contemporaneamente Bernhard Bolzano (1781-1848). Nel 1817 esce il suo opuscolo, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes in cui, per dare una dimostrazione del teorema degli zeri, si introducono in maniera rigorosa alcuni concetti come quello di continuità delle funzioni, di convergenza delle serie, di estremo superiore. I contributi di Bolzano rimasero però poco conosciuti e furono riscoperti solo più tardi.