Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

Weierstrass e la trattatistica dell'analisi in Italia

22. Salvatore Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principi del Prof. C. Weierstrass, in Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle Università Italiane di G. Battaglini, Napoli, 1880.
23. Ulisse Dini, Fondamenti per la teorica delle funzioni delle variabili reali, Pisa, tipografia T. Nistri, 1878.
24. Angelo Genocchi, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale pubblicati con aggiunte dal D.r Giuseppe Peano, Roma-Torino-Firenze, Fratelli Bocca, 1884.

A metà Ottocento, fra le scuole costituitesi in Europa, l'università di Berlino diviene una delle sedi più importanti per lo studio del calcolo e il centro privilegiato di ricerca nella direzione di una definizione più rigorosa dei suoi fondamenti. La tendenza a liberare l'analisi da nozioni geometriche, di moto o intuitive trova un contributo fondamentale in Karl Weierstrass (1815-1897). Sua è ad esempio la formulazione del concetto di continuità di funzione in termini di disuguaglianze di tipo "epsilon-delta", già avvicinata da Riemann e ispirata alle lezioni di Dirichlet.

Weierstrass incomincia a tenere le sue lezioni nel 1859 ma solo molto più tardi il materiale relativo viene raccolto e, a partire dal 1894, se ne inizia la pubblicazione. È sostanzialmente attraverso i suoi corsi, a cui assistevano allievi giunti da tutta la Germania e anche dall'estero, che si va sviluppando e diffondendo quel processo, teso a una nuova formulazione dell'analisi secondo un rigore di tipo aritmetico, che Klein chiamò "aritmetizzazione".

Una testimonianza del diffondersi delle concezioni di Weierstrass in Europa è costituita dai Fondamenti per la teorica delle funzioni delle variabili reali pubblicata da Ulisse Dini (1845-1918) nel 1878. Nella prefazione Dini ringrazia Schwarz, allievo di Weierstrass con cui era in corrispondenza epistolare, per le notizie intorno ai nuovi metodi seguiti dai matematici tedeschi nell'intento di conferire agli enunciati e alle dimostrazioni dell'analisi quel rigore che è proprio della matematica. Su questa nuova base Dini imposta i suoi Fondamenti a cui nel 1880 segue il volume Serie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche. Le sue lezioni all'università di Pisa vengono rielaborate più tardi anche nel trattato Lezioni di analisi infinitesimale, diffuso in varie edizioni litografate e infine stampate nel 1907-1915. I Fondamenti furono letti da Cantor che insieme a Dedekind progettò una traduzione tedesca che venne però compiuta solo nel 1892.

Nel 1884 viene pubblicato anche il trattato di Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale in cui Giuseppe Peano (1858-1932) raccoglie le lezioni da lui seguite a Torino e tenute da Angelo Genocchi, amico e corrispondente dei maggiori matematici dell'epoca: da Hermite a Schwarz a Kronecker e Weierstrass. Peano vi inserisce importanti "aggiunte" di teoremi sull'esistenza e la differenziabilità delle funzioni implicite, sulla continuità uniforme di funzioni in più variabili, sul calcolo integrale con precisazioni e controesempi.