Un museo per la matematica
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Il giardino di Archimede
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La sistemazione dell'analisi operata da Cauchy lasciava aperti una serie di problemi legati al concetto di continuità dei reali che si affacciavano ad esempio nello studio della convergenza delle serie di Fourier, della discontinuità e derivabilità, nella definizione stessa di funzione, nell'uso del principio di Dirichlet. Weierstrass nelle sue lezioni ed in alcune comunicazioni presentate all'Accademia di Berlino aveva già sollevato il problema di una rigorosa definizione dei numeri reali che egli considerava come passo indispensabile per la sua teoria delle funzioni analitiche.
Nel 1872 Edward Heine (1821-1881) dà una prima presentazione sistematica delle idee di Weierstrass pubblicando sul "Journal für die reine und angewandte Mathematik" fondato da Crelle, l'articolo Die Elemente der Functionenlehre. Una redazione molto diffusa e studiata in Italia sull'argomento è il Saggio di una introduzione alla teorica delle funzioni analitiche secondo i principi del prof. Weierstrass, che si apre con l'esposizione dei principi fondamentali dell'aritmetica, la teoria dei numeri interi e razionali e la teoria dei numeri reali. Il Saggio fu pubblicato nel 1880 sul "Giornale di Matematiche" da Salvatore Pincherle (1853-1936), allievo di Betti e Dini a Pisa, che si era recato a Berlino a seguire direttamente le lezioni di Weierstrass.
Nello stesso anno della pubblicazione dell'articolo di Heine compare sui "Mathematische Annalen" l'articolo di un ex studente di Weierstrass, Georg Ferdinand Cantor (1845-1918), Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, ossia "sull'estensione di un teorema della teoria delle serie trigonometriche". Qui, dovendo considerare insiemi infiniti di punti in relazione al problema della convergenza delle serie, per poter operare rigorosamente egli premette una teoria aritmetica dei numeri reali. Questi vengono definiti utilizzando successioni di numeri razionali sottoposti alla condizione oggi nota come "di Cauchy". Per tali numeri egli definisce il concetto di uguaglianza e le usuali operazioni aritmetiche e distingue poi gli insiemi di punti in varie specie a seconda degli insiemi derivati ennesimi.
Un'impostazione simile si trova nel Nouveau précis d'analyse infinitésimale, pubblicato ancora nel 1872 da Charles Meray (1835-1911) e anticipato nel 1869 da una sua memoria uscita sulla "Revue des Sociétés Savantes".
Di natura un po' diversa è invece l'altro fondamentale contributo, dovuto a Richard Dedekind, che appare sempre nel 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen, ossia "continuità e numeri irrazionali". Dedekind era stato allievo di Gauss a Gottinga dove aveva seguito anche le conferenze qui tenute da Dirichlet e, insegnando a Zurigo elementi del calcolo, andava maturando le sue considerazioni su un fondamento rigoroso dell'idea del continuo. Partendo dallo studio delle proprietà dei numeri razionali, Dedekind afferma che l'"essenza della continuità" risiede in quello che è rimasto noto come "assioma di Dedekind". I numeri reali vengono allora creati, abbandonando l'intuizione geometrica per affidarsi all'aritmetica dei numeri razionali, attraverso le sezioni e dimostrandone poi le proprietà di ordinamento, definendo le usuali operazioni aritmetiche e il concetto di limite.