Un museo per la matematica
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Il giardino di Archimede
Un museo per la matematica |
Nel Résumé des leçons données à l'École Royale Polytechnique del 1823 Cauchy dà quella che viene indicata come la prima definizione moderna di integrale. Egli considera il caso di funzioni continue su un intervallo, estendendosi poi al caso di funzioni con una o con un numero finito di discontinuità.
In un articolo del 1829 sul "Journal für die reine und angewandte Mathematik", trattando il problema della rappresentazione delle funzioni in serie di Fourier, Dirichlet solleva il problema del caso di funzioni con un numero infinito di discontinuità, portando anche l'esempio della funzione che porta il suo nome.
Nel 1854 Bernhard Riemann (1826-1866) scrive la tesi di abilitazione per ottenere la libera docenza intitolata Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, ossia "sulla rappresentabilità di una funzione mediante una serie trigonometrica", che resta sconosciuta fino al 1867 quando è pubblicata a cura di Dedekind. Qui viene introdotto l'integrale che porta il suo nome corredato da esempi di funzioni che pur avendo un numero infinito di discontinuità risultano integrabili. Sulla nuova definizione si innestano numerose ricerche riguardanti le proprietà dei sottoinsiemi della retta, prime tra tutte quelle di Cantor, e si aggiungono via via contributi sulla caratterizzazione dell'integrabilità in relazione all'insieme dei punti di discontinuità come quelli di Hermann Henkel, Paul Du Bois - Reymond, Henry Smith, Axel Harnack, Vito Volterra.
Nello studio dell'insieme delle singolarità si fa strada l'idea di misura come "Inhalt", cioè "contenuto", in Du Bois - Reymond, Otto Stolz, Harnack e Cantor.
Un concetto di contenuto più articolato, distinguendo un contenuto interno ed uno esterno, e che risulta finitamente additiva, viene introdotto da Peano nelle Applicazioni geometriche del calcolo integrale del 1887. Nella seconda edizione del Cours d'analyse (1893) Jordan espone una trattazione più generale, nello spazio n-dimensionale, con l'utilizzo di plurintervalli.
Nel 1898 Emile Borel (1871-1956) pubblica le Leçons sur la théorie des fonctions. Qui viene data una sistemazione assiomatica a una teoria del contenuto, ora detta "misura", che risulta avere la proprietà dell'additività numerabile, e viene costruita la classe di insiemi misurabili detti poi "boreliani".
Le idee di Borel congiuntamente a quelle di Peano e di Jordan vengono rielaborate da Henri Lebesgue (1875-1941), allievo di Borel, nella tesi Intégrale, longueur, aire pubblicata nel 1902 sugli "Annali di Matematica" e poste in forma definitiva nelle Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives apparso nel 1904 nella " Colletion Borel ", una collana sulla teoria degli insiemi e delle funzioni. La teoria della misura in Lebesgue sta alla base della nuova trattazione dell'integrale sulla cui differenza rispetto all'integrale di Riemann egli stesso si sofferma nell'articolo divulgativo Sur le development de la notion d'intégrale del 1926. La misura non è più usata per caratterizzare le discontinuità delle funzioni integrabili secondo Riemann, ma per ampliare la classe delle funzioni suscettibili di integrazione e definire un integrale che, grazie alla numerabile additività, risulta godere di proprietà più efficienti come quelle di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Una teoria della misura analoga a quella di Lebesgue era stata elaborata indipendentemente da Giuseppe Vitali (1875-1932) che nel 1905 fornì in un brevissimo opuscolo anche il primo esempio di una funzione non misurabile secondo Lebesgue.