Una dimostrazione semplice del teorema di Pitagora

	Il primo enunciato preciso, e la prima dimostrazione inequivocabile del nostro teorema si trovano nel primo libro degli Elementi di Euclide (circa 300 a. C): Nei triangoli rettangoli, il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che contengono l’angolo retto. Oggi in genere il "lato opposto all’angolo retto" si chiama ipotenusa, mentre i "lati che contengono l’angolo retto" prendono il nome di cateti. Inoltre, invece di "uguale" si preferisce dire equivalente, o che ha la stessa area. Così una formulazione moderna può essere: Nei triangoli rettangoli, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. o anche, dato che l’area del quadrato è uguale al quadrato del lato, Nei triangoli rettangoli, il quadrato dell’ipotenusa è equivalente ai quadrati dei cateti. Se si indicano questi ultimi con a e b, e l’ipotenusa con c, il teorema prende la forma algebrica: a2 + b2 = c2
	Tra i teoremi classici, quello che porta il nome di Pitagora è forse quello che ha avuto più dimostrazioni differenti. Di tutte, la più semplice è probabilmente quella schematizzata dalle figure a lato . Il triangolo rettangolo in questione è uno di quelli colorati in rosso. Il quadrato grande, che ha come lato la somma dei cateti, nella prima figura è composto di quattro triangoli e dei due quadrati costruiti sui cateti, mentre nella seconda è formato dagli stessi quattro triangoli disposti diversamente, e del quadrato dell’ipotenusa. Siccome l’area del quadrato grande e quella dei quattro triangoli è la stessa nei due casi, anche le aree delle figure che restano (cioè nella prima dei quadrati costruiti sui cateti, e nella seconda del quadrato sull’ipotenusa) sono uguali. Come si vede, la dimostrazione è molto facile, e soprattutto evidente: il risultato si vede prima ancora di cominciare il ragionamento. Bisogna però stare molto attenti prima di accettare per buona una dimostrazione visiva. A volte la vista può ingannare: quello che sembra un quadrato può essere invece un rettangolo con i lati quasi uguali; due figure che sembrano uguali in realtà differiscono, anche se di poco. Molti paradossi geometrici sono costruiti in questo modo.
	Nel nostro caso, la dimostrazione è corretta, ma non ancora completa. Occorre infatti dimostrare che le parti bianche delle due figure sono effettivamente dei quadrati, e precisamente i quadrati sui cateti nella prima e quello sull’ipotenusa nella seconda. Nella prima figura questo è evidente per costruzione; nella seconda, il quadrilatero in esame ha tutti i lati uguali all’ipotenusa, e dunque resta solo da far vedere che i suoi angoli sono retti. Consideriamo ad esempio quello con il vertice nel punto A, che insieme ai due angoli rossi con lo stesso vertice forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo piatto, e quindi l’angolo bianco col vertice in A è uguale al terzo angolo del triangolo, che è retto. Allo stesso modo si dimostra che sono retti gli altri angoli (a rigore questo non servirebbe, perché un rombo con un angolo retto è un quadrato), e quindi la figura è un quadrato, che ha come lato l’ipotenusa.