Figure simili.

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Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro.
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Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra. Ad esempio, le due stelle a cinque punte sono simili, mentre non sono simili una stella a cinque punte e una a quattro punte.
Analogamente, sono simili due triangoli con i lati doppi l’uno dell’altro, mentre non lo sono quelli in figura perché in questo caso l’ingrandimento si fa in una sola direzione. Osserviamo che tutti i quadrati sono simili tra loro, come pure tutti i cerchi e tutti i poligoni regolari con lo stesso numero di lati.
Una proprietà delle figure simili, che spiega perché si possono sostituire ai quadrati nel teorema di Pitagora, è che le loro aree sono proporzionali ai quadrati di segmenti corrispondenti. Ad esempio, nel caso delle stelle a cinque punte, l’area è proporzionale al quadrato della distanza tra due punte consecutive; in formule
A = kL2
(Naturalmente, invece che la distanza tra due punte si sarebbe potuto prendere un lato l della stella; in questo caso si avrebbe A =hl2 con una costante h diversa da k)

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Se ora prendiamo un triangolo rettangolo, e adattiamo tre stelle ai suoi tre lati, come nella figura, l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree sui cateti.
Infatti per il teorema di Pitagora si ha a2+b2=c2, e moltiplicando per k, avremo ka2+kb2=kc2. Ma per quanto appena detto, le quantità ka2, kb2 e kc2 sono le aree delle tre stelle, e quindi l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree di quelle sui cateti.

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L’osservazione precedente è alla base di un’elegante dimostrazione del teorema di Pitagora. Basta osservare che i triangoli ABC e ADB nella figura sono simili, essendo rettangoli e avendo in comune l’angolo in A. Per la stessa ragione risultano simili i triangoli ABC e BDC, e quindi i tre triangoli sono figure simili
Poiché il triangolo ABC è composto dagli altri due, la sua area è la somma delle aree di questi ultimi: area (ABC) = area (ABD) + area (BDC). Siccome i triangoli sono simili, le loro aree sono proporzionali ai quadrati delle loro ipotenuse, e quindi k AC2 = k AB2 + k BC2 e dividendo per k si trova AC2 =AB2 + BC2 cioè il teorema di Pitagora.

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Lunule
Un caso interessante è quando le figure simili sono semicerchi. Ancora una volta la somma dei semicerchi sui cateti è uguale al semicerchio sull’ipotenusa.
Se ora ribaltiamo quest’ultimo, e togliamo sia al semicerchio grande che ai due piccoli le parti rosse in comune, le figure che restano, cioè il triangolo e le due figure gialle a forma di luna (che si chiamano lunule, dal latino lunulae, piccole lune), avranno area uguale.
Se poi il triangolo è isoscele, una lunula è uguale a mezzo triangolo. Questo è il primo caso storicamente accertato (la dimostrazione è attribuita a Ippocrate di Chio) in cui si è dimostrato che una figura rettilinea (il triangolo) è uguale a una curvilinea (la lunula).