Figure simili.

	Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro.
	Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra. Ad esempio, le due stelle a cinque punte sono simili, mentre non sono simili una stella a cinque punte e una a quattro punte. Analogamente, sono simili due triangoli con i lati doppi l’uno dell’altro, mentre non lo sono quelli in figura perché in questo caso l’ingrandimento si fa in una sola direzione. Osserviamo che tutti i quadrati sono simili tra loro, come pure tutti i cerchi e tutti i poligoni regolari con lo stesso numero di lati. Una proprietà delle figure simili, che spiega perché si possono sostituire ai quadrati nel teorema di Pitagora, è che le loro aree sono proporzionali ai quadrati di segmenti corrispondenti. Ad esempio, nel caso delle stelle a cinque punte, l’area è proporzionale al quadrato della distanza tra due punte consecutive; in formule A = kL2 (Naturalmente, invece che la distanza tra due punte si sarebbe potuto prendere un lato l della stella; in questo caso si avrebbe A =hl2 con una costante h diversa da k)
	Se ora prendiamo un triangolo rettangolo, e adattiamo tre stelle ai suoi tre lati, come nella figura, l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree sui cateti. Infatti per il teorema di Pitagora si ha a2+b2=c2, e moltiplicando per k, avremo ka2+kb2=kc2. Ma per quanto appena detto, le quantità ka2, kb2 e kc2 sono le aree delle tre stelle, e quindi l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree di quelle sui cateti.
	L’osservazione precedente è alla base di un’elegante dimostrazione del teorema di Pitagora. Basta osservare che i triangoli ABC e ADB nella figura sono simili, essendo rettangoli e avendo in comune l’angolo in A. Per la stessa ragione risultano simili i triangoli ABC e BDC, e quindi i tre triangoli sono figure simili Poiché il triangolo ABC è composto dagli altri due, la sua area è la somma delle aree di questi ultimi: area (ABC) = area (ABD) + area (BDC). Siccome i triangoli sono simili, le loro aree sono proporzionali ai quadrati delle loro ipotenuse, e quindi k AC2 = k AB2 + k BC2 e dividendo per k si trova AC2 =AB2 + BC2 cioè il teorema di Pitagora.
	Lunule Un caso interessante è quando le figure simili sono semicerchi. Ancora una volta la somma dei semicerchi sui cateti è uguale al semicerchio sull’ipotenusa. Se ora ribaltiamo quest’ultimo, e togliamo sia al semicerchio grande che ai due piccoli le parti rosse in comune, le figure che restano, cioè il triangolo e le due figure gialle a forma di luna (che si chiamano lunule, dal latino lunulae, piccole lune), avranno area uguale. Se poi il triangolo è isoscele, una lunula è uguale a mezzo triangolo. Questo è il primo caso storicamente accertato (la dimostrazione è attribuita a Ippocrate di Chio) in cui si è dimostrato che una figura rettilinea (il triangolo) è uguale a una curvilinea (la lunula).