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SCHEDE DI APPROFONDIMENTO
Il teorema di Pitagora nell'estrema antichità
Una dimostrazione semplice
Un'altra dimostrazione semplicissima
Un triangolo non rettangolo
Parallelogrammi e trapezi
Figure simili
La diagonale del quadrato e gli irrazionali
Terne pitagoriche
I solidi regolari
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Parallelogrammi e
trapezi
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Il
teorema di
Pitagora si può enunciare anche in una forma un po diversa: La somma dei
quadrati della base e dellaltezza di un rettangolo è uguale al quadrato della
diagonale. Infatti la diagonale di un rettangolo è lipotenusa del triangolo
rettangolo che ha come cateti la base e laltezza. Se poi prendiamo ogni quadrato due
volte, avremo che:
La somma dei
quadrati dei lati di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali.
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Lo
stesso risultato
vale anche per un parallelogramma non rettangolo.
Consideriamo il
parallelogramma ABCD. Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo BED, il
quadrato della diagonale BD è uguale alla somma dei quadrati di ED e di BE, colorati in
verde e giallo. Analogamente, il quadrato della diagonale AC è uguale al quadrato rosso
più quello multicolore. La somma delle aree dei quadrati delle diagonali è allora uguale
a quella delle aree dei quattro quadrati disegnati nella prima figura.
La seconda figura è
ottenuta dalla prima spostando alcuni pezzi senza cambiare larea complessiva, e
quindi la somma delle aree dei quattro quadrati della prima figura (che era uguale alla
somma dei quadrati delle diagonali) è uguale a quella dei sei quadrati della seconda.
Daltra parte, sempre per il teorema di Pitagora, i due quadrati verdi sono uguali al
quadrato del lato AB, e i due rossi al quadrato del lato AC, e dunque la somma delle aree
dei sei quadrati è uguale a quella dei quadrati dei lati. Possiamo allora concludere che:
In un
parallelogramma la somma delle aree dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma
delle aree dei quadrati dei quattro lati.
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Un
risultato simile
vale anche per i trapezi:
La somma delle
aree dei quadrati dei lati è uguale alla somma delle aree dei quadrati delle diagonali,
più il quadrato della differenza tra la base maggiore e la minore.
In questo caso la
migliore dimostrazione è quella per via algebrica.
Riferendoci alla figura che segue dobbiamo dimostrare che:
L2 + l2
+ B2 + b2 = D2 + d2 + (B - b)2.
Cominciamo
applicando il teorema di Pitagora ai triangoli di lati h, q, L e h, p, l. Si ha:
h2 + q2
=L2
h2 + p2
= l2
Analogamente,
applicando il teorema di Pitagora ai triangoli di lati h, D, b + q e h, d, b + p, risulta:
D2 = (b
+ q)2 + h2 = b2 +q2 + 2bq + h2 = b2
+L2 + 2bq
d2 = (b
+ p)2 + h2 = b2 +p2 + 2bp + h2 = b2
+l2 + 2bp
e sommando
D2 + d2
= L2 + l2 + 2b (b + p+ q) = L2 + l2 + 2bB.
Osserviamo per
inciso che questultima formula, tradotta in termini geometrici, dice che:
In
un trapezio, la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati dei
lati non paralleli, più due volte il rettangolo delle basi.
Per arrivare al
risultato voluto, facciamo uso della formula (B - b)2 = B2 + b2
2Bb, ossia 2Bb = B2 + b2 (B - b)2 , che
introdotta nella precedente, dà
D2 + d2
= L2 + l2 + B2 + b2 (B - b)2
,
che è quello che si
voleva dimostrare.
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Nel
caso di un trapezio rettangolo, si può dare una rappresentazione visiva molto semplice.
Nella figura che segue, applicando il teorema di Pitagora ai triangoli ABC ed ABD, abbiamo
che la somma dei quadrati delle diagonali è uguale ai quattro quadrati disegnati. Di
questi, i tre gialli sono i quadrati dei lati rispettivi, mentre il quadrato del lato CD
si ottiene aggiungendo a quello verde il quadrato di DE, cioè della differenza delle
basi.
Se dunque ai
quadrati delle diagonali si aggiunge quello della differenza delle basi, si ottiene la
somma dei quadrati dei lati.
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