Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

La geometria analitica e il problema delle tangenti

1. Pierre Fermat, Methodus ad disquirendam maximam et minimam in Oeuvres de Fermat par P. Tannery et C. Henry, tome I, Paris, Gauthier-Villars, 1891 [prima edizione 1679].
2. Réné Descartes, Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison, & chercher la verité dans les sciences. Plus La Dioptrique, Les Meteores et La Géométrie qui sont des essais de cette méthode, Leyde, de l'imprimerie de Ian Maire, 1637 [ristampa anastatica 1987].
3. Réné Descartes, Geometria a Renato des Cartes anno 1637 gallice edita in linguam latinam versa opera atque studio Francisci Schooten, Lugduni Batavorum, ex officina Ioannis Maire, 1649 [prima edizione 1637].
4. Gilles Personne de Roberval, Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, in Divers ouvrages des Mathématique et de Physique par Messieurs de l'Academie Royale des Sciences, Paris, de l'Imprimerie Royale, 1693.

Il metodo dei massimi e minimi di Fermat

In una direzione analoga, utilizzando un'algebra di tipo vieteo, si muove anche Pierre de Fermat (1601-1665), che giunge indipendentemente alla identificazione di equazioni e luoghi geometrici. Dopo la pubblicazione della Géométrie, Fermat in una lettera a Mersenne, corrispondente di Descartes e di molti scienziati dell'epoca, espone un suo metodo per trovare i massimi e i minimi. Osservando che la differenza tra una curva e la sua tangente ha nel punto di tangenza un minimo (o un massimo), di tale metodo egli si serve per la determinazione delle tangenti ad una curva. I suoi risultati diffusi inizialmente solo grazie ai carteggi epistolari. Il metodo trova la prima pubblicazione nel quinto volume del Supplementum Cursus Mathematici (1642) scritto da Herigone e viene stampato come Methodus ad disquirendam maximam et minima solo nel 1679.

Il problema del tracciamento della tangente ad una curva si trova nella Géométrie sotto la forma equivalente del tracciamento della normale. La tecnica usata da Descartes è quella di considerare un cerchio di centro variabile su uno degli assi e di imporre la condizione algebrica che il cerchio abbia due intersezioni coincidenti con la curva nel punto di tangenza.

I metodi di Descartes e di Fermat si applicano ovviamente solo a equazioni polinomiali o ad esse riconducibili, come del resto sono sempre le equazioni delle curve considerate, e divengono praticamente inservibili al crescere della complessità dell'equazione. Un metodo diverso, in cui la tangente viene determinata con considerazioni cinematiche sulla curva, viene usato da Gilles Personnes de Roberval (1602-1675) e reso noto nel 1644 da Mersenne. Nello stesso anno Torricelli pubblica i suoi Opera geometrica che contengono tecniche molto simili. Con il metodo cinematico vengono determinate le tangenti a parabole di ordine superiore, alla spirale, alla cicloide. Nei decenni successivi il metodo analitico dà origine a una serie di regole per il calcolo delle tangenti come nelle opere di Hudde, Sluse, Gregory, Barrow, Wallis.