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SCHEDE DI APPROFONDIMENTO
Il teorema di Pitagora nell'estrema antichità
Una dimostrazione semplice
Un'altra dimostrazione semplicissima
Un triangolo non rettangolo
Parallelogrammi e trapezi
Figure simili
La diagonale del quadrato e gli irrazionali
Terne pitagoriche
I solidi regolari
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Un'altra dimostrazione
semplicissima.
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La
parte bianca
insieme ai due triangoli gialli forma il quadrato dellipotenusa, mentre insieme ai
due triangoli verdi, uguali ai precedenti, dà i quadrati dei cateti. Naturalmente, anche
qui levidenza visiva deve essere accompagnata da una dimostrazione, che ognuno può
fare da sé.
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Sembra
che la
dimostrazione precedente sia stata trovata da G. B. Airy, astronomo dellosservatorio
di Greenwich dal 1836 al 1881, intorno al 1855. Nella parte bianca della figura, Airy
scrisse la poesiola che segue:
I am, as you may see,
a2
+ b2 ab.
When two
triangles on me stand,
Square of
hypothenuse is plannd;
But if I stand
on them instead,
The squares of
both sides are read.
la cui traduzione
può essere:
Mi
presento, signori, eccomi qui:
a2
+ b2 ab.
Con due
triangoli sopra, chiedo scusa*
Ecco il quadrato
dellipotenusa.
Ma se questi di
sotto stanno quieti
Si formano i
quadrati dei cateti.
*Di "chiedo scusa", amici,
chiedo scusa, non ho la rima dellipotenusa ...
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La dimostrazione di Thabit Ibn Qurra.
La dimostrazione
seguente è attribuita al matematico arabo Thabit Ibn Qurra (826-901).
A partire dal
triangolo rettangolo ABC costruiamo il poligono irregolare ABDGLA aggiungendo al triangolo
i quadrati sui cateti ALHC e CBDE e il rettangolo HCEG. Questultimo è diviso
dalla diagonale GC in due triangoli rettangoli, uguali al triangolo ABC.
Prendiamo ora LI
uguale a BC e FD uguale ad AC; anche i triangoli rettangoli ALI e BFD sono uguali ad ABC.
Lo stesso è vero per il triangolo IGF, perché si ha GI=AC e GF=BC.
Infine, il
quadrilatero AIFB ha tutti i lati uguali e langolo IAB è retto, essendo uguale
allangolo LAC (gli angoli LAI e CAB sono uguali e langolo IAC è comune);
dunque AIFB è il quadrato costruito sullipotenusa AB.
A questo punto la
dimostrazione è immediata. Infatti il poligono irregolare ABDGLA si può scomporre sia
nei due quadrati sui cateti e nei tre triangoli uguali ABD, HCG e GCE, sia nel quadrato
sullipotenusa e nei tre triangoli (uguali ai primi) FBD, IFG e ILA.
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