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SCHEDE DI APPROFONDIMENTO
Il teorema di Pitagora nell'estrema antichità
Una dimostrazione semplice
Un'altra dimostrazione semplicissima
Un triangolo non rettangolo
Parallelogrammi e trapezi
Figure simili
La diagonale del quadrato e gli irrazionali
Terne pitagoriche
I solidi regolari
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Figure simili.
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Nellenunciato
del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad
esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro.
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Le figure simili
sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due
figure simili sono luna lingrandimento dellaltra. Ad esempio, le due
stelle a cinque punte sono simili, mentre non sono simili una stella a cinque punte e una
a quattro punte.
Analogamente, sono
simili due triangoli con i lati doppi luno dellaltro, mentre non lo sono
quelli in figura
perché in questo
caso lingrandimento si fa in una sola direzione. Osserviamo che tutti i quadrati
sono simili tra loro, come pure tutti i cerchi e tutti i poligoni regolari con lo stesso
numero di lati.
Una proprietà delle
figure simili, che spiega perché si possono sostituire ai quadrati nel teorema di
Pitagora, è che le loro aree sono proporzionali ai quadrati di segmenti corrispondenti.
Ad esempio, nel caso delle stelle a cinque punte, larea è proporzionale al quadrato
della distanza tra due punte consecutive; in formule
A = kL2
(Naturalmente,
invece che la distanza tra due punte si sarebbe potuto prendere un lato l della stella; in
questo caso si avrebbe A =hl2 con una costante h diversa da k)
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Se
ora prendiamo un
triangolo rettangolo, e adattiamo tre stelle ai suoi tre lati, come nella figura,
larea della
stella sullipotenusa è uguale alla somma delle aree sui cateti.
Infatti per il
teorema di Pitagora si ha a2+b2=c2, e
moltiplicando per k, avremo ka2+kb2=kc2.
Ma per quanto appena detto, le quantità ka2, kb2 e kc2
sono le aree delle tre stelle, e quindi larea della stella sullipotenusa è
uguale alla somma delle aree di quelle sui cateti.
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Losservazione
precedente è alla base di unelegante dimostrazione del teorema di Pitagora. Basta
osservare che i triangoli ABC e ADB nella figura sono simili, essendo rettangoli e avendo
in comune langolo in A. Per la stessa ragione risultano simili i triangoli ABC e
BDC, e quindi i tre triangoli sono figure simili
Poiché il triangolo
ABC è composto dagli altri due, la sua area è la somma delle aree di questi ultimi:
area (ABC) = area
(ABD) + area (BDC).
Siccome i triangoli
sono simili, le loro aree sono proporzionali ai quadrati delle loro ipotenuse, e quindi
k AC2
= k AB2 + k BC2
e dividendo per k
si trova
AC2 =AB2
+ BC2
cioè il teorema di
Pitagora.
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Lunule
Un caso interessante
è quando le figure simili sono semicerchi. Ancora una volta la somma dei semicerchi sui
cateti è uguale al semicerchio sullipotenusa.
Se ora ribaltiamo
questultimo, e togliamo sia al semicerchio grande che ai due piccoli le parti rosse
in comune, le figure che restano, cioè il triangolo e le due figure gialle a forma di
luna (che si chiamano lunule, dal latino lunulae, piccole lune), avranno
area uguale.
Se
poi il triangolo è isoscele, una lunula è uguale a mezzo triangolo. Questo è il primo
caso storicamente accertato (la dimostrazione
è attribuita a Ippocrate di Chio) in cui
si è dimostrato che una figura rettilinea (il triangolo) è uguale a una curvilinea (la
lunula).
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