La diagonale del quadrato e gli irrazionali.

| incommensurabilità | dimostrazione geometrica | dimostrazione algebrica |

Una delle scoperte più importanti della scuola pitagorica è senza dubbio quella dell’incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato. Due segmenti L e D sono commensurabili quando hanno un sottomultiplo comune, cioè quando L e D sono multipli di uno stesso segmento H: L = m H D = n H con m e n interi. I pitagorici scoprirono che se L è il lato e D la diagonale di un quadrato, questa relazione è impossibile. Quale fosse il loro ragionamento non si sa; tra quelli proposti, due sembrano particolarmente semplici, uno più geometrico, l’altro algebrico.

Il primo si basa sul fatto che se due segmenti L e D sono commensurabili, e L<D<2L, allora sono commensurabili anche D–L e 2L–D. Infatti si ha D – L = (n – m) H e 2L – D = (2m – n) H e quindi anche D–L e 2L–D hanno H come sottomultiplo.

Supponiamo ora per assurdo che il lato L e la diagonale D di un quadrato siano commensurabili, e sia H un sottomultiplo comune. Dividiamo in due parti uguali l’angolo ABP, e dal punto E tiriamo la perpendicolare EF alla diagonale. I due triangoli ABE e BEF sono uguali (sono rettangoli, hanno gli angoli in B uguali, e il lato BE comune); quindi BF=AB=L, e PF=D-L. Il triangolo PEF è isoscele (infatti l’angolo EPF è di 45 gradi), e dunque si ha AE=EF=FP=D-L, ed EP=L–(D–L)=2L-D.
Completiamo il quadrato EFPG. Siccome avevamo supposto che il lato L e la diagonale D avessero un comune sottomultiplo H, anche il lato PF=D–L e la diagonale EP=2L–D del quadrato piccolo avranno lo stesso sottomultiplo H.
Se ripetiamo in questo quadrato la costruzione che abbiamo fatto nel precedente, otteniamo un nuovo quadrato, ancora più piccolo, il cui lato e la cui diagonale hanno ancora H come sottomultiplo. Continuando sempre nello stesso modo, otteniamo dei quadrati sempre più piccoli, tutti però con il lato e la diagonale che hanno H come sottomultiplo comune.
Ma questo non è possibile, perché il lato e la diagonale diventano sempre più piccoli, e dopo un certo numero di passi finirebbero per diventare minori di H, cioè di un loro sottomultiplo. Siamo dunque arrivati a un assurdo, e quindi il lato e la diagonale di un quadrato non possono essere commensurabili.

Una seconda dimostrazione, di tipo più algebrico, è probabilmente quella evocata da Aristotele quando dice:
Una dimostrazione di questo tipo, ad esempio, è quella che stabilisce l'incommensurabilità della diagonale [e del lato del quadrato], che si fonda sul fatto che se si suppone che siano commensurabili, i numeri dispari risultano uguali ai numeri pari.
Per preparare il campo, osserviamo che due lati consecutivi e la diagonale di un quadrato formano un triangolo rettangolo, e quindi si ha D² = L² + L² = 2 L².
Supponiamo ora che D e L siano commensurabili, e cioè che risulti L=mH e D=nH. Si avrebbe allora
n² H² = 2 m² H² e quindi n² = 2 m².
Nell’equazione precedente possiamo eliminare tutti i fattori comuni a m e a n (se ce ne sono), e quindi possiamo supporre che m e n siano primi tra loro, cioè non abbiano fattori comuni. In particolare, non possono essere ambedue pari.
Osserviamo ora che n² è pari (dato che è uguale a 2m² che è pari), e quindi n è pari e m è dispari. Si può allora scrivere n=2p, e pertanto, essendo n²=4p² , dall’equazione precedente si ricava 4p²=2m² , e, dividendo per 2: 2 p² = m².
Ragionando come sopra, avremo allora che m² è pari, e dunque anche m è pari. Questo è assurdo, perché m era dispari.
Possiamo rivedere questo risultato da un punto di vista leggermente diverso, osservando che abbiamo dimostrato che l’equazione n² = 2 m² non ha nessuna soluzione in numeri interi, ovvero che non esistono due interi m e n tali che n²/m²=2. Estraendo la radice quadrata, possiamo concludere che non esiste nessuna frazione n/m uguale alla radice di 2.
I numeri che si possono esprimere per mezzo di frazioni si chiamano razionali; quelli che non sono uguali a nessuna frazione si dicono irrazionali. Possiamo allora affermare che radice di 2 è un numero irrazionale.
Con un ragionamento analogo si dimostra che sono irrazionali le radici di 3, di 5, e in genere di tutti gli interi che non sono quadrati perfetti. In altre parole, la radice di un intero è o un intero (come avviene ad esempio per 4 o 9) o un numero irrazionale.


Pagina principale de Il Giardino di Archimede	Informazioni	Mostre	Iniziative	Mappa del sito