Terne pitagoriche

Una delle tante formulazioni del teorema di Pitagora dice che se a e b sono i cateti di un triangolo rettangolo e c è l'ipotenusa, si ha a² + b² = c².
Vale anche il viceversa:
Se i lati a, b e c di un triangolo verificano la relazione a²+ b² =c², allora il triangolo è rettangolo, a e b sono i cateti e c l'ipotenusa.

scheda8.gif (2121 byte) La dimostrazione è molto semplice. Costruiamo un triangolo rettangolo con i cateti a e b, e sia d la sua ipotenusa. Per il teorema di Pitagora si ha d² = a² + b², mentre per ipotesi a² + b² = c². Ne deriva che d² = c², dunque d = c, cosicché i due triangoli hanno i tre lati uguali, e dunque sono uguali. Ma il secondo era per costruzione un triangolo rettangolo con i cateti a e b, e quindi lo stesso vale per il primo.

Il risultato precedente ci dà un metodo molto semplice per costruire triangoli rettangoli senza bisogno di misurare gli angoli. Infatti basta trovare tre numeri a, b e c, che verifichino la relazione a² + b² = c²; il triangolo di lati a, b e c sarà automaticamente rettangolo.
Un esempio è il triangolo di lati 3, 4 e 5; siccome 3²+4²=9+16=25=5², il triangolo con questi lati è rettangolo. Questo triangolo si trova spesso nei testi più antichi. Altri triangoli rettangoli sono quelli di lati 5, 12 e 13, oppure 8, 15 e 17.
Notiamo che i lati di tutti questi triangoli sono numeri interi. Per il teorema di Pitagora questo non è necessario; basta che sia verificata la relazione a² + b² = c², come ad esempio nel triangolo che ha i cateti uguali a 1 e l’ipotenusa uguale a radice di 2. D'altra parte i triangoli con lati interi sono più interessanti, anche perché i loro lati debbono essere scelti con cura; ad esempio non se ne può scegliere uno a piacere e cercare poi gli altri due.

Se tre numeri a, b e c verificano la relazione a²+b²=c² si dice che formano una terna pitagorica. Ad esempio 3, 4 e 5 sono una terna pitagorica, ma non 1, 1 e radice di 2, perché quest'ultimo numero non è intero.
Le terne pitagoriche sono tutte descritte dalla formula

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

(1)

dove m ed n sono due numeri interi, con m>n.
Che i numeri a, b e c formano una terna pitagorica, si verifica facilmente. Infatti si ha a² = (m² - n²)² = m⁴ + n⁴ - 2m² n² e b² = (2mn)² = 4 m² n² e quindi a² + b² = m⁴ + n⁴ - 2m² n² + 4 m² n² = m⁴ + n⁴ + 2m² n² = (m² + n²)² = c².
Più difficile è dimostrare che la formula (1) dà tutte le possibili terne pitagoriche, a meno di un fattore comune. Ecco come si può fare.
Cominciamo con l’osservare che se a, b e c formano una terna pitagorica, lo stesso vale per ha, hb e hc. Ci si può quindi limitare a considerare terne con a e b primi tra loro; tutte le altre si otterranno moltiplicando a, b e c per lo stesso numero.
Facciamo ora vedere che a e b devono essere uno pari e uno dispari, e di conseguenza c deve essere dispari.
Che a e b non siano ambedue pari dipende dal fatto che sono primi tra loro. Che non possano essere ambedue dispari, è un po’ più delicato.
Se a e b fossero dispari, lo sarebbero anche a² e b² , cosicché c² , somma di due numeri dispari, sarebbe pari, e quindi c sarebbe pari. D’altra parte, se a e b sono dispari si deve avere
a = 2k+1 e b=2h+1, da cui a² = (2k+1)² = 4k² +4k+1, b² =4h² +4h+1 e sommando si ottiene c² =a² +b² = 4(k² +k+h² +h) + 2. Da questa formula segue che dividendo c² per 4 si ottiene il quoziente k² +k+h² +h e il resto 2. In particolare, c² non è divisibile per 4, e questo è assurdo, dato che c è pari.
Riassumendo, se a, b e c formano una terna pitagorica, i due numeri a e b devono essere uno pari e uno dispari (ad esempio b pari ed a dispari), e di conseguenza c deve essere dispari.
Nella relazione a² +b² = c² portiamo a² a secondo membro; si ha: b² = c² - a² = (c + a)(c – a). Siccome a e c sono dispari, c+a e c–a sono pari. Se poniamo b=2s, c+a=2x e c–a=2y, avremo s²=xy. Anche x e y sono primi tra loro; infatti se avessero un fattore comune q, anche a = x – y sarebbe divisibile per q, e lo stesso sarebbe vero per b² , e dunque per b, in contraddizione con l’ipotesi che a e b fossero primi tra loro. Siccome il prodotto xy è un quadrato, x e y sono essi stessi dei quadrati: x=m² e y=n² . Si avrà allora in conclusione: a=x–y=m²-n²; c=x+y=m²+n² e b²=4xy=4m²n² per cui b = 2mn.
La formula (1) è così dimostrata. Dando a m e n successivamente differenti valori, sempre primi tra loro, e uno pari e l’altro dispari, troviamo tutte le possibili terne pitagoriche.
Notiamo che quando n = m – 1, si ha anche b = c – 1, cosa che chi legge potrà dimostrare facilmente.

Dalla considerazione delle terne pitagoriche, Pierre Fermat (1601-1665) trasse lo spunto per cercare se fosse possibile trovare delle terne di numeri interi, tutti diversi da zero, che verificassero la relazione x³ + y³ = z³ o, più in generale, xⁿ + yⁿ = zⁿ.
Nel margine della sua copia dell'Arithmetica di Diofanto, un autore greco vissuto intorno al III secolo d. C., al punto dove veniva spiegata la generazione delle terne pitagoriche, Fermat scrisse:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caparet.

cioè

Non è invece possibile dividere un cubo in due cubi. Un quadrato-quadrato in due quadrato-quadrati, e in genere nessuna potenza maggiore di due in due potenze dello stesso ordine. Di questo ho trovato una bellissima dimostrazione, che però non posso scrivere per la ristrettezza del margine.

Questo risultato, che è stato chiamato l'ultimo teorema di Fermat, ha stimolato le ricerche di molti tra i maggiori matematici degli ultimi tre secoli, ed è stato dimostrato totalmente solo nel 1994 da Andrew Wiles.


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