Le curve più semplici sono senza dubbio la retta e il cerchio. Per tracciare i cerchi si usa il compasso: basta mantenere costante la distanza del punto tracciante dal centro e si ottengono cerchi quasi perfetti anche con compassi primitivi. A prima vista sembrerebbe che anche tracciare un segmento sia una operazione semplicissima: basta prendere un righello o servirsi di una corda tesa. In effetti le cose non stanno esattamente così: per tracciare con la riga una buona linea retta occorre che essa stessa abbia un lato "diritto", ma la bontà di una riga dipende da quella che si è usata per costruirla. Insomma: chi ha costruito la prima riga? Applicare lo stesso metodo al cerchio significherebbe ad esempio prendere una moneta e ripassarne il contorno, il profilo circolare sarebbe già "intrinseco" nello strumento stesso.
Parrebbe più opportuno poter piuttosto applicare il metodo usato per descrivere il cerchio alla linea retta che non viceversa. Val forse la pena di osservare che mentre il tornio è una macchina molto antica (i vasai etruschi utilizzavano un tornio non dissimile da quello moderno per forgiare i loro vasi), la rettificatrice, macchina atta a produrre profili il più possibile rettilinei, appare solo agli albori della rivoluzione tecnologica e industriale. Né poteva essere altrimenti in quanto il tornio produce superfici coniche, cilindriche o di qual si voglia forma circolare senza aver a disposizione coni, cilindri o altre forme di riferimento, la rettificatrice deve invece avere "in proprio" una retta o un piano di riferimento il più possibile preciso. Alla costruzione di questi "riferimenti" si perviene per approssimazioni successive, concettualmente in modo non dissimile all'uso di più passate di pialla, strumento quest'ultimo apparso tardivamente.

C'è insomma una sostanziale difficoltà nel descrivere quella che è la più semplice fra le curve, così che la necessità di trovare una costruzione facile e accurata diventa un problema teorico-pratico notevole.

Gli strumenti sui quali si basa la geometria euclidea, la riga e il compasso, non sono dunque sullo stesso piano; il compasso è di per sé più preciso della riga e sembrerebbe auspicabile poter fare a meno di quest'ultima. Ma se si diminuisce il numero degli strumenti a disposizione è del tutto ragionevole ritenere che si ridurrà anche il numero di costruzioni possibili. Destò sorpresa la scoperta, dovuta al pavese Mascheroni nel 1797, che tutte le costruzioni che si possono ottenere con riga e compasso si possono eseguire col solo compasso. Rinunciando alla riga la costruzione diviene più complicata, ma il risultato che si ottiene è più preciso.
L'interesse del problema non è affatto solo teorico, giacchè in molte macchine o apparati si vuole che un dato punto si muova in direzione rettilinea con il minimo attrito possibile: uno dei problemi che ha impegnato gli ingegneri alla fine del 700 e in parte dell'800 è stato quello di trovare un sistema utile per guidare l'asta del pistone di una macchina a vapore in un moto rettilineo alternato. Senza un tale meccanismo, la biella AB, che connette l'asta del pistone con la ruota che raccoglie il movimento, spingerebbe tale asta fuori dalla verticale, danneggiando rapidamente la boccola S. D'altra parte è necessario che tale congegno non abbia parti che strisciano, per evitare forti attriti e subitaneo logoramento del materiale.