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A prima vista, le figure note col nome un
po' bizzarro di frattali sembrano niente di più
che degli oggetti dai contorni fortemente frastagliati. La loro natura di forme
intrinsecamente complesse esse la rivelano solo quando si tenta, ingrandendole, di
esaminarne più da vicino la frontiera. Normalmente, quando si ingrandisce il contorno
irregolare di un oggetto, specie se si tratta di una forma definita matematicamente, ci si
aspetta di vedere le asperità addolcirsi man mano che aumentiamo l’ingrandimento,
finché esse cedono il posto ad una sinuosità regolare, che solo la discrepanza di scala
faceva sembrare una irregolarità. Nulla di ciò accade con i frattali: al contrario, ogni
cambiamento di scala rivela nuove e inaspettate concrezioni, in una gerarchia di minuzie
sempre più sottili. Quello che sembrava solamente un profilo frastagliato mostra ad uno
sguardo più ravvicinato una struttura fine estremamente variegata, a sua volta destinata
a ramificarsi ulteriormente ad ogni successivo ingrandimento. L'irregolarità dei frattali
è infinitamente stratificata. A dispetto della estrema varietà di forme, la generazione
di molti di questi oggetti è particolarmente semplice, e richiede al computer un
programma di poche righe.
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Insieme di Julia per la trasformazione T(z) =
(1+i/2) sen z
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Immaginiamo una polvere posta su una
superficie piana, le cui particelle si possono spostare come si vuole su questa
superficie, restando ferme una volta che abbiamo finito di muoverle. Distribuendo questa
materia diversamente da come era disposta all'origine, abbiamo operato una trasformazione
del piano, alla fine della quale la particella che occupava il punto P si trova in una
nuova posizione, che indicheremo con T(P) per ricordarci che si tratta del trasformato
di P.
Ad esempio, se P è individuato dalle sue
coordinate cartesiane (x, y), potremo descrivere la trasformazione T dicendo quali
sono le coordinate (x1, y1) del punto T(P), coordinate che
naturalmente dipenderanno da quelle di P:
Supponiamo ora di operare una seconda volta
la trasformazione T. La particella che originariamente era in P e che era stata spostata
in T(P) andrà ora a finire in un nuovo punto T(T(P)), ovvero T2(P).
Trasformando di nuovo, e poi ancora, il punto continuerà a muoversi in T3(P),
T4(P), e così via, per finire, dopo un numero m di trasformazioni, in Tm(P).
Fissiamo ora un cerchio W di raggio
abbastanza grande e poniamoci il seguente problema: dopo quante ripetizioni la
particella inizialmente in P uscirà da W ? Naturalmente, la risposta
dipenderà dalla posizione iniziale P della particella. Ci sono ampie zone a partire dalle
quali la particella esce da W quasi subito, mentre altri settori del piano saranno invece
particolarmente tenaci, nel senso che non vedremo la particella uscire da W entro il
numero massimo di iterazioni che abbiamo fissato.
Questo è il caso degli esempi più
semplici di insiemi di Julia, che si ottengono da trasformazioni T dotate di un
solo punto fisso attrattivo PO- tutti i punti sufficientemente vicini a PO
vengono spostati in punti ad esso ancora più vicini, mentre tutti i punti
sufficientemente lontani dall'origine vengono spostati in punti ancora più lontani.
In questa situazione tutti i punti del
piano che non sono punti fissi di T cadranno in tre gruppi distinti: quelli le cui
immagini si allontanano indefinitamente, quelli le cui immagini si avvicinano a Po e gli
altri, quelli che non hanno nessuno dei due comportamenti e che separano le due zone.
Questo ultimo insieme di punti costituisce l’insieme di Julia della
trasformazione, e per una scelta abbastanza ampia di trasformazioni ha una struttura
frattale.
Per avere un'idea di tale struttura
possiamo operare nel seguente modo. Fissata una regione limitata W del piano, che contiene
tutto l’insieme dei punti attratti da PO, per ogni punto P di W calcoliamo
un numero sufficientemente alto di iterazioni della trasformazione, e coloriamo il punto
di partenza con un colore diverso a seconda del numero di iterazioni necessarie ad uscire
da W , scegliendo ad esempio il colore 0 (nero) per i punti che rimangono confinati in W .
Come ci si può aspettare, se un punto P
richiede N (diciamo 50) iterazioni per uscire da W , i punti vicini a P richiederanno un
numero di ripetizioni vicino a 50 (ad esempio fra 45 e 55). Quando però ci spostiamo in
zone caratterizzate da un N via via più alto vediamo che il numero di iterazioni
varia sempre più rapidamente passando da un punto ad un altro vicino. Si formano così
delle figure molto frastagliate, in cui i colori si mescolano in forme imprevedibili, ma
mai in maniera casuale: c'è del metodo in questa follia. Da queste figure sempre nuove e
inaspettate deriva la bellezza dei frattali.
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