2. Le sezioni coniche

Se illuminiamo un muro con una torcia elettrica tenendola perpendicolare alla parete, la parte illuminata è all'incirca circolare. Cominciamo ora a inclinare la torcia verso l'alto; il cerchio si deforma e assume una forma allungata, come un vassoio o uno stadio: è un'ellisse.

Se continuiamo a inclinare la torcia, l'ellisse si allunga sempre di più. Mentre una delle estremità resta davanti a noi, l'altra va via via allontanandosi; se la parete fosse infinita, l'area illuminata diventerebbe sempre più grande, finché per una certa inclinazione della torcia diventerebbe infinita. La figura così ottenuta è una parabola.

Se incliniamo la torcia ancora di più, l'area illuminata aumenta ancora, e assume la figura di un'iperbole.

Le tre figure che si ottengono successivamente, o meglio le curve che le delimitano, prendono il nome comune di sezioni coniche, dato che si ottengono sezionando un cono (nel nostro caso il cono della luce proiettata dalla torcia) con un piano (la parete).

Le sezioni coniche si trovano spesso nelle situazioni più comuni: un lume da tavolo disegna sulla parete due iperboli, l'ombra di una palla è un'ellisse, un sasso lanciato da una fionda descrive una parabola. In passato la teoria delle sezioni coniche era essenziale per la costruzione delle meridiane. Infatti nel suo moto apparente il sole descrive una circonferenza; i raggi che passano per la punta dello stilo della meridiana formano allora un cono, che tagliato dalla parete dà origine a una sezione conica, alle nostre latitudini un'iperbole, sulla quale si muove l'ombra della punta dello stilo.

Si può disegnare un'ellisse servendosi del grande compasso tridimensionale, al quale i geometri arabi avevano dato il nome di compasso perfetto. L'asta inclinata che ruota attorno all'asse verticale descrive un cono, che viene tagliato dal piano del disegno. A seconda dell'inclinazione di quest'ultimo si ottiene una circonferenza (quando il piano è orizzontale) o un'ellisse, tanto più allungata quanto più si inclina il piano. Se si potesse aumentare indefinitamente l'inclinazione del piano, si otterrebbe prima una parabola e poi un'iperbole.

Allo stesso modo, a seconda dell'inclinazione della macchina, il piano dell'acqua, sempre orizzontale, taglia il cono secondo un'ellisse, una parabola o un'iperbole. Un secondo cono simmetrico al primo mostra i due rami dell'iperbole.

Altri compassi ellittici, alcuni dei quali sono esposti si possono costruire utilizzando le diverse proprietà di questa curva; se ne trovano anche in commercio. Una parabola o un'iperbole sono più difficili da disegnare.

Il modo più semplice per tracciare un'ellisse è con un pezzo di spago, un po' come per la circonferenza che abbiamo disegnato all'ingresso.

Una circonferenza ha tutti i punti alla stessa distanza dal centro, e quindi si può disegnare con uno spago, tenendone fissa un'estremità e facendo ruotare l'altra con il pennarello. Quando la circonferenza si allunga e diventa un'ellisse, il centro per così dire si sdoppia in due punti: i fuochi. Questi hanno una proprietà caratteristica: se si prende un punto qualsiasi sull'ellisse e lo si congiunge con i due fuochi, la somma delle lunghezze dei due segmenti è sempre la stessa.

Questa proprietà può essere usata per disegnare un'ellisse sul terreno: si fissano due paletti ai due fuochi e vi si legano gli estremi di una cordicella. Se ora si fa girare una matita in modo da percorrere la cordicella tenendola sempre tesa, la curva disegnata è un'ellisse, che viene chiamata ellisse del giardiniere perché questo metodo viene usato spesso per disegnare delle aiuole ellittiche.

La stessa proprietà può essere usata per costruire degli ingranaggi ellittici. Se si prendono due ellissi uguali, disposte in modo che ognuna di esse possa ruotare attorno a uno dei suoi fuochi, e se la distanza dei perni è uguale alla lunghezza della cordicella che descrive l'ellisse, le due ellissi restano sempre tangenti, e la rotazione di una trascina l'altra. Inoltre, se la prima ruota uniformemente, la seconda ha velocità variabile, tanto più grande quanto più il punto di tangenza è vicino al fuoco fisso. Se le due ellissi sono molto allungate, mentre la prima gira in 24 ore, la seconda impiega quasi tutto il tempo per fare mezzo giro, e fa l'altra metà in pochi minuti. Su questo fenomeno sono basati i meccanismi per il cambiamento di data negli orologi.

Una seconda proprietà importante dell'ellisse è che la retta perpendicolare all'ellisse in un suo punto qualsiasi divide l'angolo formato dalle cordicelle (cioè dalle rette che uniscono il punto ai fuochi) in due parti uguali. Questa proprietà ha a che fare con la riflessione della luce. Infatti quando un raggio di luce si riflette su uno specchio, sia piano che curvo, la perpendicolare allo specchio fa angoli uguali con il raggio incidente e con quello riflesso, cioè con il raggio che arriva e con quello che parte. Ma allora un raggio di luce che parte da un fuoco si comporta come la cordicella dell'ellisse del giardiniere: dopo essersi riflesso sull'ellisse andrà a colpire l'altro fuoco.

Lo stesso vale per qualsiasi tipo di raggi: luminosi, sonori, calorifici. In ogni caso, tutti i raggi che partono da un fuoco, dopo una riflessione sull'ellisse vanno a concentrarsi nell'altro. Di qui la ragione del nome fuochi; se si mette una fonte di calore in uno dei fuochi, il calore si concentra nell'altro e può incendiare un pezzo di carta o un materiale infiammabile.

Una semplice teglia (di forma approssimativamente ellittica) con il fondo coperto d'acqua può servire per illustrare il fenomeno. Se si tocca l'acqua con un dito in corrispondenza di uno dei fuochi, segnati con un pallino sul fondo, si formano delle onde concentriche che dopo essersi riflesse sulla parete della teglia vanno a concentrarsi sull'altro fuoco

A ben vedere, gli specchi ustori e il miraggio sono realizzati non con delle parabole, ma con le superfici che si ottengono facendo ruotare queste ultime attorno al loro asse. Queste superfici si chiamano paraboloidi di rotazione. Si ottiene un paraboloide facendo girare abbastanza velocemente del liquido in un recipiente cilindrico. Se invece il liquido è messo tra due piani vicini, si ottiene una parabola.

Analogamente, se facciamo ruotare un'ellisse o un'iperbole, otteniamo un ellissoide o un iperboloide di rotazione.

Anche queste superfici hanno proprietà di riflessione simili a quelle del paraboloide. Noi abbiamo costruito una camera ellittica, ottenuta ruotando una mezza ellisse attorno all'asse. In essa avviene un fenomeno simile allo specchio ustorio: se ci mettiamo in uno dei due fuochi e parliamo verso la parete ellittica anche a voce molto bassa, chi sta nell'altro fuoco riceve la voce distintamente, mentre chi sta tra i due non sente quasi nulla.

L'iperboloide di rotazione ha la notevole caratteristica di essere una superficie rigata, cioè di essere costituita di rette, come si può vedere nell'iperboloide ottenuto con dei fili.

Questo fatto dà luogo a un fenomeno inaspettato: facendo girare una retta opportunamente inclinata, si riesce a farla passare attraverso una fessura a forma di iperbole. Infatti l'asta, ruotando, descrive un iperboloide, che tagliato con un piano ha come tracce le due fessure attraverso le quali passa senza difficoltà.

La stessa superficie si ottiene facendo girare un cubo. Mentre gli spigoli superiori e inferiori, che incontrano l'asse di rotazione, descrivono un cono, quelli intermedi, che non incontrano l'asse, generano un iperboloide, che si vede a causa della persistenza delle immagini sulla retina.