La cicloide

Una curva dalle proprietà molto peculiari è la cicloide, ossia la curva descritta da un punto su una circonferenza che rotola. La cicloide si può vedere fissando una lampadina alla ruota di una bicicletta, meglio se al buio, o anche facendo ruotare un cerchio su cui abbiamo segnato un punto.

Nonostante la semplicità della sua descrizione, la cicloide è una curva relativamente moderna. Tra i primi, se non il primo, a prenderla in esame fu Galileo, che osservò come essa potesse descrivere in maniera elegante l'arcata di un ponte. Durante tutto il Seicento, la cicloide fu oggetto di studio da parte dei maggiori matematici, che ne determinarono la lunghezza, l'area racchiusa (che per primo Galileo aveva congetturato essere il triplo del cerchio generatore, come fu dimostrato più tardi in modo indipendente da molti geometri, tra cui Torricelli), il baricentro e altre quantità connesse.

Ma le sorprese dovevano aspettare la fine del secolo, quando la cicloide si affermò come soluzione di due importanti problemi matematici.

Il primo è relativo alla caduta dei gravi, e segna la nascita di una branca totalmente nuova della matematica: il calcolo delle variazioni.

Supponiamo di voler far andare una pallina da un punto A a un punto B posto più in basso, ma non sulla verticale. Possiamo immaginare di costruire un profilo che congiunge i punti A e B, e di far scivolare la pallina lungo di esso. Naturalmente di questi profili ce ne sono infiniti; ci chiediamo allora: ce ne sarà uno che rende minimo il tempo di caduta?

A prima vista si potrebbe pensare che la soluzione sia la retta che congiunge A e B. se però ci riflettiamo meglio, vediamo che la retta è sì la linea più breva tra i due punti, ma non necessariamente quella di tempo minimo; potrebbe infatti convenire far partire la pallina più verticalmente, in modo da farle acquistare subito una velocità così elevata da compensare la maggiore lunghezza del cammino da percorrere.

Questo problema della curva brachistocrona, o di tempo minimo (dal greco brachistos, minimo, e chronos, tempo) fu posto da Johann Bernoulli come una sfida ai matematici del tempo, e fu risolto tra gli altri da Newton e da Leibniz: la curva che dà il tempo minimo è una cicloide. Bernoulli era così orgoglioso della sua scoperta, da mettere nel frontespizio delle sue Opere la vignetta di un cane che tenta invano di raggiungere una cicloide, con il motto: Supra invidiam, sopra l'invidia.

Noi abbiamo messo a confronto la cicloide con la retta: lasciando cadere allo stesso tempo due palline lungo queste due curve, si vede come il tempo per la cicloide sia considerevolmente minore di quello per la retta.