3. Altre curve

La geometria analitica

Neanche le sezioni coniche possono soddisfare tutte le necessità della scienza e della tecnica. È allora necessario andare al di là delle sezioni coniche, e considerare curve ancora più complesse.

Un modo molto efficace per rappresentare queste curve sul piano consiste nel servirsi della loro equazione.

Se si tracciano sul piano due rette perpendicolari, è possibile individuare ogni punto mediante le sue coordinate cartesiane, che rappresentano grosso modo le distanza del punto dai due assi. Esse sono chiamate così in onore di Réné Descartes (Cartesio), che per primo se ne è servito costantemente proprio per la descrizione delle curve.

Le due coordinate si indicano per lo più con x e y. A ogni valore della coppia (x,y) corrisponde un punto del piano. Quando x e y variano in tutti i modi possibili, il punto corrispondente descrive tutto il piano; se invece le coordinate sono soggette a un'equazione, il punto che esse rappresentano è vincolato a muoversi su una curva, di cui l'equazione costituisce la rappresentazione analitica.

Ad esempio, se si fissa la x, ad esempio mediante l'equazione x=1, la curva corrispondente è una retta verticale; mentre l'equazione y=3 rappresenta una retta orizzontale. Più in generale, un'equazione di primo grado (cioè un'equazione in cui le variabili x e y compaiono alla prima potenza) rappresenta una retta, mentre un'equazione di secondo grado dà luogo a una delle sezioni coniche (compresa la circonferenza).

Si possono studiare curve con equazione di terzo grado, o di quarto, o via via di grado sempre più alto. Per queste, troviamo nell'Encyclopedie di Diderot e D'Alembert una macchina universale che consente, aggiungendo ogni volta uno strato, di tracciare curve di grado sempre più alto. Quella che è stata realizzata ha tre livelli sovrapposti, e quindi traccia curve di terzo grado. Si tratta di una macchina piuttosto pesante, la cui complessità è dovuta soprattutto alla necessità di ridurre al minimo gli attriti che altrimenti ne impedirebbero il funzionamento.

Le spirali

Altre curve hanno un'equazione che non ha nessun grado (o meglio, non sono esprimibili con un polinomio); alcune di esse si distinguono dalle altre per alcune proprietà speciali, che le rendono particolarmente utili e interessanti. Una di queste è la spirale di Archimede.

Una formica parte dal centro del piatto di un giradischi, e si dirige verso l'esterno, percorrendo una linea retta. Se però nel momento in cui la formica parte il piatto comincia a girare, e tutti e due, la formica e il giradischi, vanno sempre alla stessa velocità, la formica percorrerà una curva a spirale, che si chiama di Archimede perché è stata studiata per primo dal matematico siracusano.

Possiamo sostituire la formica con un pennarello, che muoviamo dal centro verso l'esterno con velocità il più possibile costante; vedremo allora disegnarsi la spirale di Archimede, che si avvolgerà tante più volte quanto più lentamente muoveremo il pennarello.

Un'interessante applicazione della spirale si trova nelle macchine da cucire, nella parte che serve per avvolgere il filo attorno al rocchetto. Il filo che viene dalla matassa viene tenuto teso, e si avvolge sul rocchetto che ruota e oscilla avanti e indietro, in modo da permettere una distribuzione uniforme del filo. È proprio qui che entra la spirale. Infatti perché il filo si avvolga uniformemente su tutte le parti del rocchetto, occorre che il movimento di oscillazione avvenga sempre con la stessa velocità. Se infatti, come accadrebbe se non si prendessero opportune precauzioni, il movimento di oscillazione fosse più veloce al centro e più lento agli estremi, quando cioè il rocchetto deve cambiare direzione, il filo non si avvolgerebbe in modo uniforme, ma si addenserebbe alle estremità del rocchetto.

Occorre in definitiva un meccanismo che faccia oscillare il rocchetto sempre con la stessa velocità. Questo è ottenuto facendo regolare l'oscillazione del rocchetto da un profilo costituito da due archi di spirale accoppiati. Qui vediamo il particolare meccanismo della macchina da cucire, e una sua riproduzione ingrandita e funzionante. L'asta verticale si muove alternativamente su e giù, sempre alla stessa velocità.

Le caustiche

La descrizione di curve particolari potrebbe continuare per molto tempo. Gli interessati possono vedere al computer alcune simulazioni di meccanismi per tracciare curve di vario tipo. Noi proseguiremo la visita prendendo in esame sia la struttura generale delle curve, sia le proprietà particolari di alcune di esse.

Abbiamo visto come le sezioni coniche, e in particolare la parabola, abbiano la capacità di concentrare i raggi luminosi in un punto. Le altre curve non hanno in generale questa proprietà. Questo non significa però che i raggi riflessi si sparpaglino completamente, illuminando più o meno uniformemente lo spazio; molto spesso essi si concentrano non in un punto, ma su una curva: la caustica. Come il fuoco delle sezioni coniche, anche il nome di questa curva deriva dal bruciare; infatti l'aggettivo caustico significa che brucia. In realtà al nome non corrisponde un'effettiva capacità di accendere il fuoco, almeno nel caso che la sorgente luminosa sia di potenza moderata, come una lampadina.

Le caustiche si osservano spesso nella vita quotidiana; ad esempio quando una teglia viene illuminata obliquamente, i raggi che si riflettono sulla parete verticale disegnano sul fondo una curva, che si chiama caustica di riflessione, perché si ottiene facendo riflettere dei raggi luminosi.

Le caustiche si possono ottenere anche per rifrazione, quando i raggi provenienti da un punto penetrano in un mezzo di differente densità.

Inviluppi

I raggi riflessi o rifratti sono tutti tangenti alla caustica che essi formano. Più in generale, se si prende una famiglia di rette (come erano nelle caustiche i raggi riflessi o rifratti), queste possono distribuirsi uniformemente nel piano, come avviene ad esempio quando sono parallele, ma si possono anche addensare su una curva, alla quale risultano tutte tangenti. Questa curva si chiama inviluppo delle rette. Così una caustica di riflessione è l'inviluppo dei raggi riflessi da uno specchio. Si possono ottenere degli inviluppi di rette tendendo dei fili tra vari punti del piano o dello spazio. Il tetraedro ruotante all'ingresso, la ruota di bicicletta sopra la vostra testa, le rette perpendicolari alla parabola, mostrano curve ottenute come inviluppi di rette. Per costruire un inviluppo non è necessario partire dalle rette: si può fare lo stesso con delle curve. Ogni curva della famiglia sarà tangente all'inviluppo, ossia avrà la stessa retta tangente nel punto di contatto. Al computer si possono vedere vari esempi di inviluppi di cerchi e anche di curve più complicate. Un esempio interessante viene dalla balistica. Trascurando la resistenza dell'aria, il proiettile sparato da un pezzo di artiglieria percorre una parabola, la cui forma dipende dalla potenza del cannone e dall'angolo di tiro. Supponiamo ora di avere un cannone che spara sempre con la stessa potenza, ma che può variare l'angolo. Dove bisogna mettersi per essere sicuri di stare fuori della portata del cannone? La risposta è semplice: si tracciano tutte le traiettorie dei proiettili facendo variare l'angolo di tiro, e ci si mette al di fuori della regione che esse coprono. Questa regione è delimitata dalla curva inviluppo di tutte le parabole, che in questo caso è anch'essa una parabola. Notiamo che le caustiche, e in generale gli inviluppi, non sono curve presenti fisicamente. Quello che esiste sono i raggi di luce, o in generale le rette della famiglia; la curva che esse inviluppano appare solo perché queste si addensano su di essa. Così i raggi di luce che si addensano sulla caustica illuminano maggiormente la parte del piano corrispondente alla curva, e la disegnano. Lo stesso avviene per le rette normali alla parabola, che si possono vedere all'ingresso Esse disegnano una curva che si vede, anche se non c'è: infatti ci sono soltanto le rette che la inviluppano. In alcuni casi, è importante evitare la formazione di caustiche, e avere una luce il più possibile uniforme. Ad esempio in fotografia l'uniformità dell'illuminazione è essenziale. La lampada Fortuny, ancora in uso, grazie alla forma della superficie riflettente, fornisce una densità luminosa costante in qualsiasi punto.

Curvatura e dintorni

Come tra tutte le rette che passano per un punto P di una curva, la tangente è quella che approssima meglio la curva, così tra tutti i cerchi che passano per P ce n'è uno che si adatta meglio all'andamento della curva nelle vicinanze di P. Questo cerchio, il cui centro si trova sulla retta perpendicolare alla curva (o, il che è lo stesso, perpendicolare alla sua tangente), prende il nome di cerchio osculatore.

Possiamo così misurare la curvatura di una curva. La retta tangente permette di determinare la direzione di una curva C: se si immagina un punto che si muove lungo C, si può pensare che ad ogni istante il movimento avvenga nella direzione della tangente. Analogamente la curvatura di C sarà data da quella del cerchio osculatore; e siccome un cerchio è tanto più curvo quanto minore è il suo raggio, si può misurare la curvatura di C per mezzo dell'inverso del raggio del cerchio osculatore, o raggio di curvatura.

Al variare del punto P sulla curva, i centri di curvatura (centri dei cerchi osculatori) descrivono una seconda curva, che si chiama evoluta della prima. Questa curva è anche l'inviluppo delle rette perpendicolari alla curva data.

Reciprocamente, la prima curva è l'evolvente della seconda. L'evolvente di una curva si può ottenere materialmente attaccando un filo al profilo della curva, e poi svolgendolo pian piano, con l'accortezza di tenere sempre tesa la parte staccata. L'estremità libera del filo descriverà allora l'evolvente. In questo modo è possibile disegnare l'evolvente del cerchio.

Figure a spessore costante

Oltre alle rette parallele ci sono anche delle curve parallele, cioè che si mantengono sempre alla stessa distanza. Sono paralleli i bordi di una strada, le rive di un canale, le guide su cui scorrono le monete in una slot-machine. Se si vuole che le monete non ballino mentre cadono, si dovrà fare in modo che esse tocchino sempre i bordi della guida. Le monete circolari fanno al caso nostro, dato che possono strisciare tra due curve parallele toccando sempre dalle due parti.

Si potrebbe pensare che i cerchi siano le sole figure con questa proprietà, cioè le sole curve di spessore costante. Invece le cose non stanno così, e si possono costruire numerose altre figure che toccano sempre due curve parallele. La più semplice è una specie di triangolo con i lati formati da archi di cerchio, che scorre in una guida a lati paralleli. Da questo, scavando verso gli angoli in modo da renderli taglienti, si ottiene la punta di un trapano (eccentrico) che fa fori quadrati. In commercio esistono trapani per fori esagonali.
Si possono poi costruire curve a spessore costante di varie forme. Le monete inglesi da 50 new pence sono tra queste.

La cicloide

Una curva dalle proprietà molto peculiari è la cicloide, ossia la curva descritta da un punto su una circonferenza che rotola. La cicloide si può vedere fissando una lampadina alla ruota di una bicicletta, meglio se al buio, o anche facendo ruotare un cerchio su cui abbiamo segnato un punto.

Nonostante la semplicità della sua descrizione, la cicloide è una curva relativamente moderna. Tra i primi, se non il primo, a prenderla in esame fu Galileo, che osservò come essa potesse descrivere in maniera elegante l'arcata di un ponte. Durante tutto il Seicento, la cicloide fu oggetto di studio da parte dei maggiori matematici, che ne determinarono la lunghezza, l'area racchiusa (che per primo Galileo aveva congetturato essere il triplo del cerchio generatore, come fu dimostrato più tardi in modo indipendente da molti geometri, tra cui Torricelli), il baricentro e altre quantità connesse.

Ma le sorprese dovevano aspettare la fine del secolo, quando la cicloide si affermò come soluzione di due importanti problemi matematici.

Il primo è relativo alla caduta dei gravi, e segna la nascita di una branca totalmente nuova della matematica: il calcolo delle variazioni.

Supponiamo di voler far andare una pallina da un punto A a un punto B posto più in basso, ma non sulla verticale. Possiamo immaginare di costruire un profilo che congiunge i punti A e B, e di far scivolare la pallina lungo di esso. Naturalmente di questi profili ce ne sono infiniti; ci chiediamo allora: ce ne sarà uno che rende minimo il tempo di caduta?

A prima vista si potrebbe pensare che la soluzione sia la retta che congiunge A e B. se però ci riflettiamo meglio, vediamo che la retta è sì la linea più breva tra i due punti, ma non necessariamente quella di tempo minimo; potrebbe infatti convenire far partire la pallina più verticalmente, in modo da farle acquistare subito una velocità così elevata da compensare la maggiore lunghezza del cammino da percorrere.

Questo problema della curva brachistocrona, o di tempo minimo (dal greco brachistos, minimo, e chronos, tempo) fu posto da Johann Bernoulli come una sfida ai matematici del tempo, e fu risolto tra gli altri da Newton e da Leibniz: la curva che dà il tempo minimo è una cicloide. Bernoulli era così orgoglioso della sua scoperta, da mettere nel frontespizio delle sue Opere la vignetta di un cane che tenta invano di raggiungere una cicloide, con il motto: Supra invidiam, sopra l'invidia.

Noi abbiamo messo a confronto la cicloide con la retta: lasciando cadere allo stesso tempo due palline lungo queste due curve, si vede come il tempo per la cicloide sia considerevolmente minore di quello per la retta.

Il pendolo cicloidale

La cicloide entra anche in un secondo problema, stavolta di natura più tecnica. Sempre Galileo aveva osservato come le oscillazioni di un pendolo avvengano approssimativamente nello stesso tempo, e ciò indipendentemente dall'ampiezza delle oscillazioni. A partire da questa osservazione di Galileo presero origine i primi orologi a pendolo.

In realtà le oscillazioni del pendolo non sono esattamente isocrone: il tempo che occorre per compiere un'oscillazione completa dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, ed è tanto maggiore quanto più ampia è l'oscillazione. Solo per oscillazioni molto piccole il tempo si può considerare essenzialmente costante, e sono queste oscillazioni piccole che si sfruttano per gli orologi a pendolo.

Ci si può chiedere allora: come deve essere fatto un pendolo perché le oscillazioni richiedano tutte esattamente lo stesso tempo, o in una parola (anche questa derivata dal greco: tautos, lo stesso, e chronos, tempo) siano rigorosamente isocrone?

Vediamo le cose da un punto di vista leggermente diverso. In un pendolo normale il peso oscilla liberamente attaccato a un punto, e quindi lungo una circonferenza. Le sue oscillazioni sono isocrone solo approssimativamente, e richiedono tanto più tempo quanto è più grande l'arco di circonferenza descritto. In questo contesto la domanda diventa: lungo che tipo di curva bisogna fare oscillare un corpo in modo che le oscillazioni siano perfettamente isocrone?

La risposta è ancora una volta: la cicloide. Se mettiamo due palline in due punti sulla cicloide, e le lasciamo cadere contemporaneamente, esse si urteranno esattamente nel punto più basso, anche se sono partite una molto vicina e l'altra molto lontana da questo punto. In altre parole, la pallina impiega lo stesso tempo a percorrere l'arco grande e quello piccolo, segno che le oscillazioni sono isocrone. Nella circonferenza ciò non avviene: la pallina che cade da più vicino arriva prima.

Se vogliamo allora costruire un orologio a pendolo esattamente isocrono, occorre che il peso oscilli lungo una cicloide. Ma come è possibile obbligare il peso a muoversi lungo questa curva senza farlo strisciare, cioè senza usare un profilo cicloidale? La situazione è analoga a quella della prima stanza, quando volevamo disegnare una retta senza usare un profilo. Lì avevamo usato un meccanismo abbastanza complesso, il meccanismo di Peaucellier. Qui ci serviremo di un altro trucco: invece di lasciare il peso libero di oscillare (in questo caso descriverebbe una circonferenza) ne condizioneremo la traiettoria facendo adagiare il filo su due profili.

In termini matematici, occorrerà sagomare questi profili in modo che la loro evolvente sia un a cicloide. E qui abbiamo una sorpresa: l'evolvente di una cicloide è una seconda cicloide uguale alla prima; di conseguenza i profili devono essere degli archi di cicloide. In questo caso (e solo in questo caso) il pendolo oscillerà su una cicloide, e quindi sarà isocrono.

Abbiamo messo a confronto due pendoli: uno libero, che si muove su una circonferenza, e uno cicloidale, ottenuto con i profili in alto. Due fotocellule misurano i periodi, che vengono visualizzati sui computer. Come si vede, mentre il periodo del pendolo ordinario diminuisce con l'ampiezza delle oscillazioni, quello del pendolo cicloidale è rigorosamente costante.

Nuove tendenze

La geometria moderna ha proseguito e reso ancora più evidente questo processo, in ambedue le direzioni: maggiore generalità, maggiore complessità. In corrispondenza, le tecniche matematiche sono diventate sempre più astratte, al punto da rendere difficile, se non impossibile, una descrizione anche approssimata.

Non volendo rinunciare del tutto a dare un'idea degli sviluppi moderni della geometria delle curve, abbiamo scelto due esempi rappresentativi delle due tendenze: le geodetiche e i frattali.

Su una superficie piana, ad esempio in una piazza, il cammino più breve tra due punti è la linea retta. Se però ci muoviamo su una superficie curva, come può essere la superficie della terra, non è più possibile andare in linea retta, e al suo posto abbiamo una curva, detta geodetica, la cui lunghezza è la minima tra tutte le curve che uniscono i suoi estremi. Come all'inizio della nostra visita tiravamo una corda per avere una retta, potremo trovare le geodetiche di una superficie convessa tirando uno spago tra due punti. Nel caso della Terra, che è all'incirca una sfera, le geodetiche sono i cerchi massimi, quelli cioè che dividono la sfera in due parti uguali. Per andare da un punto a un altro conviene allora muoversi sul cerchio massimo che passa per i due punti. Questa è la ragione delle rotte polari nei viaggi aerei intercontinentali: sulle carte sembrano molto lunghe, perché sono riportate in piano, ma basta tendere un elastico su un mappamondo per vedere come in realtà la strada più breve tra Pisa e Los Angeles passa vicino al polo nord. Il secondo esempio riguarda lo stesso concetto di curva. Quelle che abbiamo visto finora corrispondono all'idea intuitiva di curva che tutti abbiamo; sono cioè degli oggetti a una dimensione, che si possono pensare ottenuti piegando un filo. Se hanno dei punti singolari, come nel caso del bordo di un poligono, questi sono in numero finito e isolati. Verso la fine dell'Ottocento, cominciano ad affacciarsi delle curve patologiche dalle proprietà sorprendenti. Una di queste è la curva di Peano, che riempie un quadrato e pone il problema del significato della dimensione; un'altra è la curva di Koch, che non ha tangente in nessun punto. Infine, in anni più recenti, sono emersi alcuni nuovi oggetti, i frattali, che hanno una dimensione frazionaria e la proprietà sorprendente che ogni loro parte, comunque piccola, è simile all'intero. Queste forme, la cui generazione è relativamente semplice, danno immagini di notevole bellezza; immagini con le quali concludiamo la nostra visita nel mondo delle curve.